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"内积空间"相关考试题目
1.
ch3:判断题:20191117:最佳平方逼近 若 是内积空间,则在2范数意义下, 在有限维子空间 中的最佳逼近元是 在 上的正交投影.
2.
设X是实内积空间，x，y∈X。证明(1)(勾股定理)；(2)
3.
内积空间的任何一个正交系都是线性无关集.
4.
设M与N是内积空间X中的两个子集证明若M⊆M⊥
5.
若M为内积空间X的非空子集。求证：M的正交补为X的闭子空间。
6.
设A，B为内积空间X的非空子集且 。求证： (a) ； (b) ； (c)A ⊥⊥⊥ =A ⊥ 举例说明(a)和(b)中的包含关系可以是等式，也可以是严格的包含关系。
7.
内积空间的内积满足下列那些性质。
8.
设H是内积空间，．证明{xk}中有子列{}使
9.
内积空间一定是（ ）.
10.
线性空间，按范数成为赋范空间. 则该赋范空间是内积空间的充要条件是（ ）.
11.
完备的内积空间被称为Hilbert空间。 （ ）
12.
内积空间 中的向量 线性无关的充要条件是Gram矩阵
13.
在内积空间中，可以从一组线性无关向量得到一列标准正交系
14.
证明在可分内积空间中，任一标准正交系最多为一可数集。
15.
在线性空间C[0,1]中可以定义内积，使之称为一个内积空间.
16.
设E是内积空间H的子空间，【图片】 则x在E中的最佳逼近点即为x在E中的投影.
17.
ch3::20191117:最佳平方逼近 若 是内积空间,则在2范数意义下, 在有限维子空间 中的最佳逼近元是 在 上的正交投影.
18.
设M,N是内积空间H的两个非空开集，若则
19.
证明：内积空间X中两个向量x，y垂直的充要条件是：对一切数α，成立||x+αy||≥||x||。
20.
设{en}是内积空间X中的标准正交系，x，y∈X，证明
21.
内积空间中的任意一个可列子集，都可以规范正交化成一个规范正交系，它能与原来可列子集张成的子空间相同
22.
设是内积空间，，则x⊥y的充分必要条件是对任何数α有‖x+αy‖≥‖x‖
23.
设M,N是内积空间H的两个子集，则以下命题正确的是（ ）.
24.
内积空间中线性无关元素确定的Gram矩阵是实对称正定矩阵 （ ）
25.
设M是内积空间H的紧凸集, 则x在M中的最佳逼近点满足( ).
26.
内积空间上两元素垂直是指()为0.
27.
设M与N是内积空间X中的两个子集证明若M为X的子空间，则M∩M⊥={θ}
28.
举例说明内积空间中完全规范正交系不一定是完备的。
29.
设H是内积空间，M是H的线性子空间，证明如果对于每一个x∈H，它在M上的正交投影存在，则M必是闭子空间。
30.
证明：A是实内积空间X上自伴算子时，A=0的充要条件为对所有x∈H，成立=0
31.
设M，N是内积空间中的子集，，则
32.
设（..）为内积空间Y中的内积，证明
33.
设X是实内积空间，x，y∈X证明〈x，y〉=0⇔‖x+y‖2=‖x‖2+‖y‖2（勾股定理）
34.
设{xn}为内积空间X中一列元。求证：
35.
设X是内积空间，证明：由内积诱导的范数满足平行四边形公式．
36.
设M是内积空间H的子集，则以下选项中错误的是（ ）.
37.
设M,N是内积空间H的两个非空开集，若【图片】则【图片】
38.
内积空间的正交基一定是正交系，反之不成立.
39.
实内积空间上的内积满足（ ）.
40.
设A，B为内积空间X的非空子集且。求证：(a)；(b)；(c)A⊥⊥⊥=A⊥举例说明(a)和(b)中的包含关系可以是等式，也可以是严格的包含关系。
41.
任意一个内积空间都可以定义范数使之成为赋范线性空间。
42.
内积空间是严格凸的的赋范线性空间。 （ ）
43.
设是内积空间H的一个标准正交系，则以下命题中与其它三项不等价的是（ ）.
44.
设x，y，z为内积空间X中的元。求证Appolonius等式：t‖x-y‖2+(1-t)‖x-z‖2=‖x-u‖2+t(1-t)‖y-z‖2，其中u=ty+(1-t)z，。由此推出
45.
设E是内积空间H的子空间， 则x在E中的最佳逼近点即为x在E中的投影.
46.
设X是一个内积空间，(.,.)为内积， 是x的一个n维子空间．f∈x， 对 ，1≤i，j≤n，b i =(f， )，1≤i≤n，矩阵A=[a ij ]，b=(b 1 ，b 2 ，…，b n ) T ． 1)证明：线性方程组Ax=b存在唯一解； 2)如果P满足‖f-p‖= ‖f-q‖证明：c 1 ，c 2 ，…，c n 是线性方程组Ax=b的解．
47.
求证：一般地，内积空间上的有界线性算子不一定有伴随算子存在。
48.
设是内积空间，则x⊥y的充分必要条件是对任何数α有‖x+αy‖≥‖x-αy‖
49.
设z为内积空间X一固定元。求证：f(x)=＜x，z＞，x∈X定义了X上范数为‖z‖的有界线性泛函证明若映射X→X'，z→f为满射，则X必为Hilbert空间。
50.
设A是内积空间X的非空子集,则包含A的最小内积子空间为
