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"紧集"相关考试题目
1.
如果某个集合是一个有界的闭集，那么它是一个紧集。
2.
设E，F⊂Rn为紧集，证明E∩F和E∪F为紧集。
3.
E是Rn中紧集的充要条件是：
4.
设x是线性赋范空间，x中的单位球是列紧集，则x必为有限维。
5.
设X是度量空间，A，B∈X，A是紧集，B是闭集，且ρ(x，y)=0，证明
6.
试证明： 设定义在R 2 上的二元函数f(x，y)满足： (i)任意固定y 0 ∈R 1 ，f(x，y 0 )是R 1 上的连续函数； (ii)任意固定x 0 ∈R 1 ，f(x 0 ，y)是R 1 上的连续函数； (iii)对R 2 中的任一紧集K，f(K)是R 1 中的紧集，则f∈C(R 2 )．
7.
若有界集E满足条件： inf{m(C):G是开集，EG}=sup{m(K);K是紧集，KE},证明E是可测集。
8.
题目：推理闭包空间的紧集和分离性
9.
证明：准紧集的闭包是紧集。
10.
紧集 的任一无限子集在 中必有聚点。( )
11.
设 T 是由距离空间 X 到 Y 的连续映射, 则 T 将 X 中的紧集映射为 Y 中的紧集。
12.
Cantor集是紧集、疏集、完备集、不可数集,并且是零测集 .
13.
在实数空间中，以下选项中是紧集的有（ ）.
14.
设A是距离空间X中的紧集，f是X到R的连续函数. 则f是有界的，并可取到上、下确界.
15.
设(X，ρ)是完备度量空间，α是非紧性测度，{An}是X的非空递缩有界闭集，即有AnAn+1，．若α(An)→0(n→∞)，证明A=An是X中非空的紧集．
16.
试证明：设f∈C(R1)，{Fk}是R1中的递减紧集列，则．
17.
用定义证明点集是R中的紧集。
18.
下列集合不是紧集的有( )
19.
设A，B为拓扑空间(X，τ)中紧集，证明A∪B是紧集．
20.
在连续函数空间C[a,b]中，当子集A满足（ ）时，则A是列紧集.
21.
任一距离空间中的紧集本身是完备的距离空间。
22.
试证明： 设定义在R 1 上的函数f(x)满足： (i)若 是有界集，则f(X)在E上有界； (ii)若 是紧集，则f -1 (K)是闭集，则f∈C(R 1 )．
23.
设X是线性赋范空间，X中的单位球是列紧集，则X必为有限维。
24.
试证明：设定义在R1上的函数f(x)满足：(i)若是有界集，则f(X)在E上有界；(ii)若是紧集，则f-1(K)是闭集，则f∈C(R1)．
25.
试证明：设f∈L(Rn)，是紧集，则 ．
26.
在距离空间中，列紧集的非空子集一定是列紧集.
27.
距离空间之间的连续映射，把紧集映成列紧集.
28.
证明：如果F1，F2是距离空间X中的紧集，则存在x0∈F1，y0∈F2使ρ(F1，F2)=ρ(x0，Y0)，其中。并证明：若ρ(F1，F2)=0，则。
29.
紧集上的连续函数一定是有界的并且达到它的上、下确界。
30.
试证明：设f:[a，b]→R1，作图形集Gf={(x，f(x))：x∈[a，b]}．若Gf是R2中的紧集(有界闭集)，则f连续．(若Gf只是闭集，则结论不真，如f(x)=1/x(x≠0)，f(0)=0．)
31.
设T是从距离空间X到距离空间Y的连续映射，A是X中的列紧集，则以下选项中不正确的是（ ）.
32.
用定义证明点集{0}∪{|K=1,2，…}是R中的紧集。
33.
设，且suppf为紧集。证明是古典意义下的函数。
34.
在离散的距离空间中，列紧集一定是紧集.
35.
闭包必定是紧集。
36.
紧集是
37.
若A是赋范线性空间X中的一个紧集，则X中每个覆盖A的开集族中必存在有限个开集覆盖A。
38.
题目：L－拓扑空间中的强F紧集、超F紧集以及局部超F_1紧性
39.
设E是赋范线性空间，K∈E是紧集，x∈K。证明：存在K中元素y使得‖x-y‖=dist(x，K)
40.
连续映射将紧集映射成紧集。
41.
在距离空间中，以下关于列紧集性质的描述，不正确的是（ ）.
42.
列紧集的任何()是列紧集,任何一族列紧集的()是列紧集,有限个列紧集的()是列紧集。
43.
求证，设{Fk}是Rn中紧集的降列，FkGRn,G是开集，则G包含某个Fk.
44.
在距离空间中，列紧的闭集就是紧集.
45.
在完备的距离空间中，完全有界集未必是列紧集.
46.
试证明：设定义在R2上的二元函数f(x，y)满足：(i)任意固定y0∈R1，f(x，y0)是R1上的连续函数；(ii)任意固定x0∈R1，f(x0，y)是R1上的连续函数；(iii)对R2中的任一紧集K，f(K)是R1中的紧集，则f∈C(R2)．
47.
求证，设XRn紧集，fk∈C(X)，fk f(k→∞),则f（X）=
48.
设A，B是度量空间(X，ρ)的非空紧集．证明：
49.
设A，B为拓扑空间(X，τ)中紧集，证明A∪B是紧集．
50.
设f∈C（R1），{Fk}是R1中的递减紧集列，试证明
