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"希尔伯特空间"相关考试题目
1.
是二维希尔伯特空间中的一组正交归一基，对于可观测量算子 下面说法正确的是？
2.
H为Hadmard门，那么 是作用在维希尔伯特空间上的算子
3.
设{ek}，{e'k}(k=1，2，…)是希尔伯特空间中的两个规范正交系，满足。证明：当{ek}，{e'k}中之一完备时，另一个也是完备的。
4.
设丁是复希尔伯特空间上的自伴算子，{Eλ)为T的谱族，证明：T的值域的闭包是
5.
球谐函数应构成希尔伯特空间的一组基底。 ( )
6.
希尔伯特空间
7.
设T是可分希尔伯特空间上的有界线性算子，{en}为中完备的规范正交系。若对任何m，n，有，则T自伴。
8.
设T1，T2是希尔伯特空间两个自伴算子，则T1和T2自伴的充要条件是T1*T2=T2*T1
9.
关于希尔伯特空间,下列说法错误的是( )
10.
每一个可分的无穷维希尔伯特空间与下列哪个空间同构。
11.
设u1，u2，…，un…是一系列内积空间。令u表示满足下面不等式的元素{x1，x2…，xn，…}的全体：∑n=1∞‖xn‖2＜∞在u中适当地定义线性运算并对x，y∈u定义(x,y)=∑n=1∞(xn，yn)，这里x={x1，x2，…，xn…}，y={y1，y2，…，yn…}，证明：U是一个内积空间；若所有u0都是希尔伯特空间，则u也是希尔伯特空间。
12.
设丁是复希尔伯特空间 上的自伴算子，{E λ )为T的谱族，证明：T的值域的闭包是
13.
Q表象：以Q的正交归一完备的本征矢量为基矢构成的一个希尔伯特空间，这个空间可以是无穷维的甚至是不可数的
14.
在给定内积意义下,施图姆-刘维尔本征函数张成的线性空间是无穷维希尔伯特空间。
15.
设为希尔伯特空间，是线性无关的，则将{yk}规范正交化所得的规范正交系{ek}由下式给出：其中G0=1，Gk=G(y1，y2，…，yk)，函数G的定义
16.
证明：可分希尔伯特空间中的规范正交系最多是可列的。
17.
在量子力学中，我们用希尔伯特空间中的向量描述什么？
18.
设f是希尔伯特空间 的子空间G上的有界线性泛函，则f在 上存在惟一的延拓F，满足‖F‖=‖f‖ G
19.
令H表示如下函数x(·)全体：x∈L[0，2π]，且∑n=1∞(an2+bn2)＜+∞令证明：H是希尔伯特空间
20.
设A是复内积空间 上的有界线性算子，如果对每个 ，(Ax，x)=0，则A=0。对于实空间，此结果成立否?如果 是希尔伯特空间且A是自伴的，则不论 是实或复空间，只要 就有A=0。
21.
设S与T是希尔伯特空间H上的线性算子，若在H上存在酉算子U，使得 S=Uimages/tu -1 =Uimages/tu * 则称算子S与T是酉等价的。若T是自伴的，证明S也是自伴的。
22.
设T为定义在希尔伯特空间 上的有界线性算子，令 为T的零空间， 为T * 的值域，证明：
23.
是二位希尔伯特空间中正交归一的基失，那么是：
24.
设S与T是希尔伯特空间H上的线性算子，若在H上存在酉算子U，使得S=Uimages/tu-1=Uimages/tu*则称算子S与T是酉等价的。若T是自伴的，证明S也是自伴的。
25.
设L1，L2是希尔伯特空间的子空间，L1⊥L2，L=1?L2(即L1与L2的直接和)。证明：L是的闭子空间的充要条件是L1，L2均为的闭子空间。
26.
设A是复内积空间上的有界线性算子，如果对每个，(Ax，x)=0，则A=0。对于实空间，此结果成立否?如果是希尔伯特空间且A是自伴的，则不论是实或复空间，只要就有A=0。
27.
设为希尔伯特空间，求证：(1)这里K为复数域，x，y1，y2，…yn为中元素，而(2)对任意的m＜n，有(0≤k≤m-1)G(y1，y2，…，yn)≤G(y1，y2，…，ym)G(ym+1，…，yn)，G(y1，y2，…，yn)≤G(y1)G(y2)…G(yn)
28.
设p是从希尔伯特空间H到其闭线性子空间的线性算子，证明 下列命题等价：(1)P是投影算子；(2)P2=P且P是自共伴算子；(3)P2=P，且N(P)上R(P)；(4)若H是复空间，则还等价于(Px，x)=‖Px‖2，x∈H
29.
设{en}是希尔伯特空间中的规范正交系，{λ)→0(n→∞)，且每个λn是实数。令Tx=∑n=1∞λn(x，en)en，则T是紧自伴算子。
30.
设p是从希尔伯特空间H到其闭线性子空间的线性算子， 证明 下列命题等价： (1)P是投影算子； (2)P 2 =P且P是自共伴算子； (3)P 2 =P，且N(P)上R(P)； (4)若H是复空间，则还等价于 (Px，x)=‖Px‖ 2 ，x∈H
31.
设A，B是希尔伯特空间 上的线性算子，满足 (Ax，y)=(x，By)， 其中 ，则A，B均有界。
32.
设u 1 ，u 2 ，…，u n …是一系列内积空间。令u表示满足下面不等式的元素{x 1 ，x 2 …，x n ，…}的全体： ∑ n=1 ∞ ‖x n ‖ 2 ＜∞ 在u中适当地定义线性运算并对x，y∈u定义 (x,y)=∑ n=1 ∞ (x n ，y n )， 这里x={x 1 ，x 2 ，…，x n …}，y={y 1 ，y 2 ，…，y n …}，证明：U是一个内积空间；若所有u 0 都...
33.
设H2是满足∑n=0∞|an|＜∞且在单位圆{z:|z|＜1}内解析函数f(x)=∑n=0∞anzn的全体。在H2中适当定义线性运算，然后定义内积：证明：H2是可分的希尔伯特空间。若{en}是H2中一完备正交系，证明当|z1|＜1，|z2|＜1时，
34.
历史上第一个具体的无穷维空间是希尔伯特空间。()
35.
设是复希尔伯特空间，{αn}是实数列且令Tx=y:ηn=αnξn，n=1，2，…，其中x=(ξ1，ξ2，…，ξ3，…)，y={η1，η2，…，ηn…}．证明：σ(T)等于{αn}的闭包，每个αn是T的特征值，且T的谱族{Eλ]由下式给出：
36.
是二维希尔伯特空间中的一组正交归一基，对于可观测量 算子, 下列说法正确的是
37.
设 上为复希尔伯特空间，T为 上的有界线性算子，若对一切 ，Re(Tx，x)=0，则T=-T *
38.
设A，B是希尔伯特空间上的线性算子，满足(Ax，y)=(x，By)，其中，则A，B均有界。
39.
设 是希尔伯特空间，M是 的子集，证明：(M ⊥ ) ⊥ 是包含M的最小闭子空间。
