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【简答题】

设A是复内积空间上的有界线性算子，如果对每个，(Ax，x)=0，则A=0。对于实空间，此结果成立否?如果是希尔伯特空间且A是自伴的，则不论是实或复空间，只要就有A=0。

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题目标签：内积空间希尔伯特空间线性算子

参考答案：

参考解析：

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举一反三

【简答题】设M与N是内积空间X中的两个子集证明若M⊆M⊥

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【判断题】完备的内积空间被称为Hilbert空间。（）

A.

正确

B.

错误

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【判断题】设是的有界线性算子，则与平移可交换的充要条件， . （）

A.

正确

B.

错误

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【简答题】设Xi和Yi(i=1，2)都是Banach空间，X=X1×X2，Y=Y1×Y2为积空间，设，线性算子T：X→Y定义为T(x1，x2)=(T1x1,T2x2),(x1,x2)∈X.证明：

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【简答题】证明：设H是复Hilbert空间，T：D(T)H→H是稠定线性算子，则T是对称的当且仅当对任意x∈D(T)，〈Tx，x〉是实的，

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【简答题】设X是内积空间，证明：由内积诱导的范数满足平行四边形公式．

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【判断题】内积空间的正交基一定是正交系，反之不成立.

A.

正确

B.

错误

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【简答题】设x，y，z为内积空间X中的元。求证Appolonius等式：t‖x-y‖2+(1-t)‖x-z‖2=‖x-u‖2+t(1-t)‖y-z‖2，其中u=ty+(1-t)z，。由此推出

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【简答题】设x∈l 2 ，对n=1，2，…，设求证：A：l 2 →l 2 为有界线性算子，但A不为紧算子。

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【简答题】设X是一个内积空间，(.,.)为内积，是x的一个n空间．f∈x，对，1≤i，j≤n，b i =(f， )，1≤i≤n，矩阵A=[a ij ]，b=(b 1 ，b 2 ，…，b n ) T ． 1)证明：线性方程组Ax=b存在唯一解； 2)如果P满足‖f-p‖= ‖f-q‖证明：c 1 ，c 2 ，…，c n 是线性方程组Ax=b的解．

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