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"线性算子"相关考试题目
1.
设A及B是定义在llibert空X上的两个线性算子,满足 ＜Ax，y＞=＜x，By＞＜x，by＞ 其中x，y为X中任意向量，证明A是有界算子。
2.
设A是ι2上线性算子,记en=， 其中＜∞，证明A是全连续的。
3.
设<∞在ι1上定义算子T:y=Tx,其中x={ξk},y={ηk},ηk=αkηk(k=1,2,...),证明T是ι1上的有界线性算子并且T=
4.
设X是可分的Banach空间，证明存在满的有界线性算子T：l1→X．
5.
设T为有界线性算子，且‖T‖≤1，证明 {x:Tx=x}={x:T * x=x}
6.
设{T n }是Banach空间X上的紧算子列并且强收敛于线性算子T，试举例说明T不必是紧算子．
7.
设X，Y是Banach空间，T：X→Y是线性算子并且对任意xn∈X，当xn→θ(n→∞)时，对于每一个f∈Y*有f(Txn)→0(n→∞)．证明T是连续的．
8.
设T1是X1到X2的全连续算子，T2是X2到X3的有界线性算子，则T2T1是X1到X3的全连续算子
9.
设X,Y是Banach空间,若T映X到Y是闭线性算子,并且T的定义域是闭集,则T是有界线性算子。
10.
设α(·)是定义在[a，b]上的函数。令(Tx)(t)=α(t)x(t)(x∈C[a，b])，则T是由C[a，b]到其自身的有界线性算子的充分必要条件是α(·)在[a，b]上连续。
11.
设 是 的有界线性算子，则 与平移可交换的充要条件 ， . （ ）
12.
设{Tn}是Banach空间X上的紧算子列并且强收敛于线性算子T，试举例说明T不必是紧算子．
13.
设X是Banach空间,线性算子P是幂等的,并且其核空间与值域都是闭集,则它是()
14.
设X，y为赋范空间，F：X→Y为线性算子。若y'∈Y'，定义F'(y')： 为 F'(y')(x)=y'(F(x))， x∈X 求证：
15.
证明：设H1，H2是Hilbert空间，T：D(T)H1→H2是线性算子，且T是单射．则T是可闭的当且仅当T-1是可闭的，并且有
16.
设X是自反的Banach空间．证明有界线性算子T：X→l1是紧算子，
17.
证明：从R2到R2的下列算子T1:(ξ1，ξ2)→(ξ1，0)，T2:(ξ1，ξ2)→(0，ξ2)，T3:(ξ1，ξ2)→(ξ2，ξ1)，T4:(ξ1，ξ2)→(rξ1，rξ2)均是线性算子，并从几何上予以解释。
18.
设Xi和Yi(i=1，2)都是Banach空间，X=X1×X2，Y=Y1×Y2为积空间，设，线性算子T：X→Y定义为T(x1，x2)=(T1x1,T2x2),(x1,x2)∈X.证明：
19.
证明：设H是复Hilbert空间，T：D(T)H→H是稠定线性算子，则T是对称的当且仅当对任意x∈D(T)，〈Tx，x〉是实的，
20.
设H是Hilbert空间，T：D(T)H→H是稠定线性算子，证明：
21.
若T是从线性空间X到Y的有界线性算子，则T的核空间是X的一个闭线性子空间。
22.
设X为赋范空间，z∈X，f∈X'。求证：若T：X→X定义为 T(x)=f(x)z， x∈X。 则T为紧线性算子。
23.
设T为有界线性算子，且‖T‖≤1，证明{x:Tx=x}={x:T*x=x}
24.
证明：若T是Hilbert空间H中的稠定线性算子，则 ；若T是可闭的稠定线性算子，则 ．
25.
设X，Y是Hausdorff拓扑线性空间，其中dim X＜∞．证明：对任何线性算子T：X→Y，T都是连续的．
26.
设T为线性空间F[x]3上的线性算子，定义为T(f(x))=f(x+1)-f(x)，，求T在F[x]3的基：1，x，x2，x3下的矩阵，并指出T的秩及T的零度.
27.
设T是赋范空间到赋范空间的线性算子,若T是无界的,则T一定定义在无限维赋范空间上
28.
设X为赋范空间，z∈X，f∈X'。求证：若T：X→X定义为T(x)=f(x)z，x∈X。 则T为紧线性算子。
29.
设线性算子T：C[0，1]→C[0，1]定义为Tx(t)=x(s)ds，证明T是紧算子，并求出σ(T)．
30.
设1≤p≤∞，{an}是收敛于0的数列，线性算子T：lp→lp定义为T{xn}={anxn}．证明T是紧算子．
31.
设H是Hilbert空间，T：D(T)H→H是自共轭线性算子且T是单射．证明：
32.
设X为赋范空间，z∈X，f∈X'。求证：若T：X→X定义为 T(x)=f(x)z， x∈X。 则T为紧线性算子。
33.
设T是Hilbert空间H上的有界线性算子，‖T‖≤1．证明： {x：Tx=x}={x：T * x=x}．
34.
设 是线性算子，且对于 满足 则 是 上的有界算子. （ ）
35.
设T是复Hilbert空间H上的有界线性算子，证明T=θ的充要条件是对一切x∈H都有〈Tx，x〉=0．
36.
设X i 和Y i (i=1，2)都是Banach空间，X=X 1 ×X 2 ，Y=Y 1 ×Y 2 为积空间，设 ，线性算子T：X→Y定义为 T(x 1 ，x 2 )=(T 1 x 1 ,T 2 x 2 ), (x 1 ,x 2 )∈X. 证明：
37.
设{Tn}是Banach空间X上的紧算子列且强收敛于线性算子，试举例说明T未必是紧算子。
38.
设X，Y都是Banach空间，T：X→Y为线性算子．证明：T有界的充要条件是对任何，当时有．
39.
若X，Y是Banach空间，T是映X到Y的有界线性算子，并且它既是单射又是满射，则T的逆算子是一个有界线性算子
40.
连续线性算子一定是有界线性算子吗？（ ）
41.
设T是定义在巴拿赫空间E上的有界线性算子，α∈ρ(T)，A=R(α，T)设μ，λ满足μ(α-β)=1，则μ∈σ(A)的充分必要条件是λ∈σ(T)。若μ∈ρ(A)，且μ(α-β)=1，则
42.
设E都是赋范线性空间，L是E的闭子空间，对任何x∈E，令Φx=x+L．证明：Φ是由E到上有界线性算子且‖Φ‖≤1
43.
设H是Hilbert空间，T：D(T) H→H是自共轭线性算子且T是单射．证明：
44.
设X，Y是Banach空间，T：X→Y是线性算子并且对任意x n ∈X，当x n →θ(n→∞)时，对于每一个f∈Y * 有f(Tx n )→0(n→∞)．证明T是连续的．
45.
设{Tt：t≥0}是Banach空间X上的有界线性算子半群，f(t)=ln‖Tt‖．若存在a＞0，f(t)在[0，α]上有界，证明．
46.
设S和T是Hilbert空间H中使得ST在H中稠定的线性算子．证明(ST) * T * S * ；若D(S)=H且S是有界的，证明(ST) * =T * S * ．
47.
证明：设H是Hilbert空间，T：D(T)H→H是对称线性算子，则T是自共轭的当且仅当T是闭算子且
48.
设x是线性赋范空间，T是x→x的有界线性算子，若T既是单射又是满射，则T有逆算子。
49.
设x∈l 2 ，对n=1，2，…，设 求证：A：l 2 →l 2 为有界线性算子，但A不为紧算子。
50.
线性算子的有界性与连续性是等价的。
