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【简答题】

设p是从希尔伯特空间H到其闭线性子空间的线性算子，证明下列命题等价： (1)P是投影算子； (2)P 2 =P且P是自共伴算子； (3)P 2 =P，且N(P)上R(P)； (4)若H是复空间，则还等价于 (Px，x)=‖Px‖ 2 ，x∈H

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题目标签：线性子空间希尔伯特空间投影算子

参考答案：

参考解析：

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举一反三

【单选题】是二维希尔伯特空间中的一组正交归一基，对于可观测量算子下面说法正确的是？

A.

O有两个本征值0和1

B.

O不是厄密算子

C.

O有两个本征值0和2

D.

O有两个本征值1和2

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【简答题】设f是线性空间V上的双线性函数，W与V的线性子空间，令（1）证明：W⊥是V的线性子空间. （2）如果W∩W⊥={0}，则V=W⊕W⊥.

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【单选题】下列选项哪一个不是线性子空间的和是直和的充分必要条件( )。

A.

B.

维 =维维维

C.

和空间中任意向量的分解是唯一

D.

和空间中零向量的分解是唯一

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【简答题】设T1，T2是希尔伯特空间两个自伴算子，则T1和T2自伴的充要条件是T1T2=T2T1

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【简答题】设X是实赋范空间，E为X的线性子空间，x∈X．证明ρ(x，E)=sup{f(x)：f∈X*，‖f‖≤1，f(E)=0}

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【简答题】在R4中求由向量α1，α2，α3，α4生成的线性子空间的维数和一组基，其中α1=(2，1，-1，-2)T，α2=(1，0，-3，2)T，α3=(2，2，1，-1)T，α4=(3，3，3，-5)T．

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【简答题】求下列向量组生成的线性子空间的一个基与维数．α1=(1，1，0，0，0)T，α2=(0，1，1，0，1)T，α3=(1，0，1，1，0)T，α4=(0，0，0，1，1)T，α5=(0，0，o，0，1)T．

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【简答题】设(X，τ)是Hausdorff拓扑线性空间，E是X的闭线性子空间，π：X→X/E是商投射，使得π(x)=x+E(x∈X)，τE={VX/E：π-1(V)∈τ}．证明：

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【单选题】已知是线性空间的两个线性子空间,则下列说法中错误的是( )

A.

必是的线性子空间

B.

的维数必不超过的维数

C.

若 ,则为直和

D.

未必是的线性子空间

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【简答题】设是复希尔伯特空间，{αn}是实数列且令Tx=y:ηn=αnξn，n=1，2，…，其中x=(ξ1，ξ2，…，ξ3，…)，y={η1，η2，…，ηn…}．证明：σ(T)等于{αn}的闭包，每个αn是T的特征值，且T的谱族{Eλ]由下式给出：

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