设u 1 ，u 2 ，…，u n …是一系列内积空间。令u表示满足下面不等式的元素{x 1 ，x 2 …，x n ，…}的全体： ∑ n=1 ∞ ‖x n ‖ 2 ＜∞ 在u中适当地定义线性运算并对x，y∈u定义 (x,y)=∑ n=1 ∞ (x n ，y n )， 这里x={x 1 ，x 2 ，…，x n …}，y={y 1 ，y 2 ，…，y n …}，证明：U是一个内积空间；若所有u 0 都是希尔伯特空间，则u也是希尔伯特空间。