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"巴拿赫空间"相关考试题目
1.
设E，E 1 均为巴拿赫空间， 若T * 是紧算子，则T'也是紧算子。
2.
试证：巴拿赫空间E中的点集M是准紧的一个充分条件是：(1)M是有界的；(2)存在按照算子拓扑收敛于单位算子的紧算子序列{Tn}，使得在M上一致地有‖Tnx-x‖→0(x∈M)
3.
不仅是度量空间,还是巴拿赫空间。
4.
设E是巴拿赫空间，T 1 ， 可换，则它们的谱半径rT 1 ，rT 2 满足 rT 1 +rT 2 ≤rT 1 +rT 2
5.
任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间
6.
设V[a，b]为定义在[a，b]上的有界变差函数的全体，其线性运算与C[a，b]的相同。在V[a，b]中定义范数如下：证明：V[a,b]按照‖·‖是不可分的巴拿赫空间。
7.
巴拿赫空间E称为序列弱完备的，是指对每个f∈E*，若存在，则存在x∈E使{xn)弱收敛于x。证明：(1)自反空间都是序列弱完备的；(2)L[a，b]，l是序列弱完备的；(3)C[a，b]不是序列弱完备的．
8.
设巴拿赫空间E'具有基{xn}(n=1，2，3，…)。证明：(1){xn}是线性无关的；(2)令W为使∑n=1∞cnxn在E中收敛的序列w={xn}的全体，在W中定义范数则W为巴拿赫空间；(3)令fn(x)=cn(n=1，2，3，…)，这里x=n=1∞cnxn则fn是E上的有界线性泛函。
9.
证明：巴拿赫空间E为自反的充要条件是E*为自反的
10.
设巴拿赫空间E是它的闭子空间L，M的直接和：E=L?M 证明： 存在K＞0，使得对任何x∈E，有‖y‖≤K‖x‖，‖z‖≤K‖x‖，这里y∈L，z∈M，x=y+z。
11.
设l∞为一切有穷数列组成的集，线性运算与lp的相同，在l∞中定义范数如下：其中x={ξ1，ξ2，…，ξn，…}∈l∞证明：l∞按照‖·‖是不可分的巴拿赫空间。
12.
设E为巴拿赫空间，，λ，μ∈ρ(T)，则R(λ，T)-R(μ，T)=(μ-λ)R(λ，T)R(μ，T)(第一预解式方程)
13.
设E是巴拿赫空间，L是E的闭子空间。按定义商空间等中元素的范数。证明：按此范数是巴拿赫空间。
14.
设E是巴拿赫空间， 按一致算子拓扑收敛于 ，λ 0 是T的特征值，则当λ充分大时，λ 0 也是T n 的正则值，且
15.
设{fn}是巴拿赫空间E的对偶空间E*中的点列，则∑n=1∞|fn(x)|对每个x∈E收敛的充要条件是对每个F∈E**，∑n=1∞|F(fn)|＜∞
16.
试证：巴拿赫空间E中的点集M是准紧的一个充分条件是： (1)M是有界的； (2)存在按照算子拓扑收敛于单位算子的紧算子序列{T n }，使得在M上一致地有 ‖T n x-x‖→0 (x∈M)
17.
巴拿赫空间E称为序列弱完备的，是指对每个f∈E * ，若 存在，则存在x∈E使{x n )弱收敛于x。证明： (1)自反空间都是序列弱完备的； (2)L[a，b]，l是序列弱完备的； (3)C[a，b]不是序列弱完备的．
18.
设L 1 ，L 2 …L n ，…是一系列赋线性空间，今E表示满足下 述不等式的元素x={x 1 ，x 2 ，…，x n …}(x n ∈L n )的全体： 令 证明：在E中定义适当的线性运算后，E按照‖·‖是赋范线性空间。如果所有L n 都是巴拿赫空间，则E也是巴拿赫空间。
19.
设H p (0＜p≤1)表示[a，b]上满足p次利普希茨条件 |x(t 1 )-x(t 2 )|≤M|t 1 -t 2 | p (t 1 ，t 2 ∈[a，b])的函数全体，线性运算的定义与C[a，b]的相同。在H p 中定义范数于下： 证明：H p 按照‖·‖是巴拿赫空间。H P 是否可分?
20.
设{xn}是巴拿赫空间E中的一个点列，如果对于每个f∈E*，∑n=1∞|f(xn)|＜+∞则必存在正数μ使对一切f∈E*，∑n=1∞)|f(xn)|≤μ‖f‖
21.
【名词解释】巴拿赫空间
22.
设E是巴拿赫空间，按一致算子拓扑收敛于，λ0是T的特征值，则当λ充分大时，λ0也是Tn的正则值，且
23.
设L1，L2…Ln，…是一系列赋线性空间，今E表示满足下述不等式的元素x={x1，x2，…，xn…}(xn∈Ln)的全体：令证明：在E中定义适当的线性运算后，E按照‖·‖是赋范线性空间。如果所有Ln都是巴拿赫空间，则E也是巴拿赫空间。
24.
赋范线性空间的共轭空间一定是巴拿赫空间. ( )
25.
设E为巴拿赫空间， ，λ，μ∈ρ(T)，则 R(λ，T)-R(μ，T)=(μ-λ)R(λ，T)R(μ，T) (第一预解式方程)
26.
设E为巴拿赫空间，，λ，μ∈ρ(T)，则R(λ，T)-R(μ，T)=(μ-λ)R(λ，T)R(μ，T)(第一预解式方程)，证明：
27.
设巴拿赫空间E'具有基{x n }(n=1，2，3，…)。证明： (1){x n }是线性无关的； (2)令W为使∑ n=1 ∞ c n x n 在E中收敛的序列w={x n }的全体，在W中定义范数 则W为巴拿赫空间； (3)令f n (x)=c n (n=1，2，3，…)，这里x= n=1 ∞ c n x n 则f n 是E上的有界线性泛函。
28.
设A[a，b]为定义在[a，b]上的绝对连续函数全体，其线性运算与C[a，b]的相同，在A[a，b]中定义范数于下： ‖x‖=|x(a)|+∫ a b |x'(t)|dt (x∈A[a，b]) 证明：A[a，b]按照‖·‖是可分巴拿赫空间。
29.
设E为巴拿赫空间， ，λ，μ∈ρ(T)，则 R(λ，T)-R(μ，T)=(μ-λ)R(λ，T)R(μ，T) (第一预解式方程)，证明：
30.
设E是巴拿赫空间，{fn}为E上的有界线性泛函序列，若对任何x∈E，{fn(x)}收敛，则存在E上的有界线性泛函f，使{fn}弱*收敛于f，且left|left| f right|right|leq lim_bar{nrightarrow infty}‖f_{n}‖/span>
31.
设E是巴拿赫空间，T1，可换，则它们的谱半径rT1，rT2满足rT1+rT2≤rT1+rT2
32.
设Hp(0＜p≤1)表示[a，b]上满足p次利普希茨条件|x(t1)-x(t2)|≤M|t1-t2|p(t1，t2∈[a，b])的函数全体，线性运算的定义与C[a，b]的相同。在Hp中定义范数于下：证明：Hp按照‖·‖是巴拿赫空间。HP是否可分?
33.
设E为巴拿赫空间，T 1 ，T 2 均属于 (E)，且可换。设 λ∈ρ(T 1 )∩ρ(T 2 ) 则 R(λ，T 1 )-R(λ，T 2 )=(T 1 -T 2 )R(λ，T 1 )R(λ，T 2 )(第二预解式方程)
34.
设E为巴拿赫空间，T1，T2均属于(E)，且可换。设λ∈ρ(T1)∩ρ(T2)则R(λ，T1)-R(λ，T2)=(T1-T2)R(λ，T1)R(λ，T2)(第二预解式方程)
35.
设E是巴拿赫空间上是E的闭子空间。如果L及定义商空间中元素的范数)是巴拿赫空间，证明：E也是巴拿赫空间。
36.
设E是巴拿赫空间， 设μ 0 是T n 的特征值，则μ 0 至少有一个n次根是T的特征值。反之亦然。
37.
设c为一切收敛数列组成的集，线性运算与lp中相同，在c中定义范数于下：其中x={ξ1，ξ2，…，ξn，…}∈c。证明：c按照‖·‖是可分的巴拿赫空间。
38.
设M0是[a，b]上有界函数全体，线性运算的定义与C[a，b]的相同。在M0中定义范数于下： 证明：M0是不可分的巴拿设M 0 是[a，b]上有界函数全体，线性运算的定义与C[a，b]的相同。在M 0 中定义范数于下： ||x||=|x(a)|+Vab(x) 证明：M 0 是不可分的巴拿赫空间。
39.
设A[a，b]为定义在[a，b]上的绝对连续函数全体，其线性运算与C[a，b]的相同，在A[a，b]中定义范数于下：‖x‖=|x(a)|+∫ab |x'(t)|dt(x∈A[a，b])证明：A[a，b]按照‖·‖是可分巴拿赫空间。
40.
设T是定义在巴拿赫空间E上的有界线性算子，α∈ρ(T)，A=R(α，T)设μ，λ满足μ(α-β)=1，则μ∈σ(A)的充分必要条件是λ∈σ(T)。若μ∈ρ(A)，且μ(α-β)=1，则
41.
【名词解释】巴拿赫空间结构理论
42.
设L1，L2，…，Ln都是赋范线性空间，E=L1?L2?…?Ln。证明：E按照下面定义的范数均为赋范线性空间：‖x‖=‖x1‖+‖x2‖+…+‖xn‖，‖x‖1=max{‖x1‖，‖x2‖，…，‖xn‖}若L1，L2，…，Ln都是巴拿赫空间，证明E按上述3种范数都是巴拿赫空间。
43.
设是巴拿赫空间x上的一列泛函，如果在X的每点x处有界，那么一致有界.
44.
设M0是[a，b]上有界函数全体，线性运算的定义与C[a，b]的相同。在M0中定义范数于下： 证明：M0是不可分的巴拿设M0是[a，b]上有界函数全体，线性运算的定义与C[a，b]的相同。在M0中定义范数于下：||x||=|x(a)|+Vab(x)证明：M0是不可分的巴拿赫空间。
45.
设E是巴拿赫空间，点列{xn}∈E满足∑n=1∞‖xn‖=M＜∞，其中M＞0是常数。证明：存在x∈E，使得x=∑n=1∞xn且‖x‖＜M。
46.
设X和Y都是巴拿赫空间，如果T是从X到Y上的一对一有界线性算子，则T的逆算子不是有界线性算子
47.
设巴拿赫空间E是它的闭子空间L，M的直接和：E=L?M证明： 存在K＞0，使得对任何x∈E，有‖y‖≤K‖x‖，‖z‖≤K‖x‖，这里y∈L，z∈M，x=y+z。
