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【简答题】

设T为L2[a，b]上的紧自伴算子，而且有L2[a，b]中的完备规范正交系{en}，使得
∑n=1∞‖Ten‖2＜∞
证明：存在a≤t≤b，a≤s≤b上平方可积函数K(t，s)满足

且对一切x∈L2[a，b]，
Tx(t)=∫abK(t，s)x(s)ds

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题目标签：规范正交系自伴算子平方可积函数

参考答案：

参考解析：

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举一反三

【简答题】设T是自伴算子，证明U=e iT 是酉算子，这里

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【简答题】设e1,e2,...en为内积空间X中规范正交系，证明:X到span{e1,e2,...,en}的投影算子P为

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【简答题】设X为可分Hilbert空间，证明X中任何规范正交系至多可数集

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【单选题】波函数ψ和φ是平方可积函数，则力学量算符为厄密算符的定义是（）

A.

A

B.

B

C.

C

D.

D

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【简答题】设Ω是平面上有界L可测，L2(Ω)表示Ω上关于L测度平方可积函数全体，对每个f∈L2（Ω），定义 (Tf)(z)=zf(z),z∈Ω 证明T是正常算子

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【简答题】设{en}是希尔伯特空间中的规范正交系，{λ)→0(n→∞)，且每个λn是实数。令Tx=∑n=1∞λn(x，en)en，则T是紧自伴算子。

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【简答题】设k(s，t)为单位正方形[0，1]×[0，1]上的平方可积函数。若x∈L2[0，1]，令，0≤s≤1求证：A定义了L2[0，1]上的有界线性算子且(a)若任取(s，t)有，则A为自伴的。(b)A为正规的若 (17) 对所有(s，t)成立。

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【简答题】设T是自伴算子，证明U=eiT是酉算子，这里

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【简答题】试给出自伴算子T 1 ，T 2 的例，使θ≤T 1 ≤T 2 ，但T 1 2 ，T 2 2 不可比较。

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【简答题】设A为Hilbert空间H上的自伴算子。求证：任取z∈H有＜Ax,x＞=0当且仅当A=0

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