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"正规子群"相关考试题目
1.
若群 G 的 阶子群有且只有一个,则此子群必为 G 的正规子群。
2.
若群 的 阶子群有且只有一个,则此子群必为 的正规子群.( )
3.
设K是群G的一个有限正规子群，P是K的一个Sylowp-子群·证明：G=N（P）K.
4.
证明：当n≥5时，n次交代群An是一个单群，即其正规子群只有{（1）}及An。
5.
设N是G的子群,则N是G的正规子群当且仅当对于任意的G中元素a,
6.
设有群同态 , 那该同态的像是 的正规子群.( )
7.
设H，K是群G的两个有限正规子群，并且(|H|，|K|)=1．证明：如果商群G／H和G／K都是交换群，则G也是交换群．
8.
分别建立HN到H/（H∩N）和G到（G/N）/（H/N）的同态来证明定理：设G是一个群，N是G的正规子群。证明：若H是G的正规子群且H⊇N，则（G/N）/（H/N）≌G/H
9.
群 的中心是 的子群,但不是正规子群。
10.
设有群同态 , 那么该同态的核是G 的正规子群.( )
11.
设有群同态 ,那么 的正规子群的逆像也是正规子群.( )
12.
正规子群的交仍是正规子群。
13.
设H是群G的正规子群．证明G/H是Abel群的充要条件是gkg-1k-1∈H，∀g，k∈G.
14.
指数是2的子群不一定是正规子群。
15.
指 数为 2的子群 必 是 正规 子群。
16.
设 是群 的两个正规子群,且 . 则 .( ) 答案(正确)
17.
假定H和N是G的子群，且N是G的正规子群，证明H∩N是H的正规子群．
18.
设G是群，NG.如果当N≤HG时必有N=H，则称N是G的一个极大正规子群，证明： N是G的极大正规子群⇔G/N是单群.
19.
设H是群G的子群且[G：H]=2，证明：H是G的正规子群
20.
题目：一类半直积群的正规子群的余子群
21.
设P是有限群G的Sylowp—子群，N是G的正规子群．试证N∩P，PN/N分别为N与G／N的Sylowp一子群．
22.
求出三次对称群 的全部正规子群和商群。
23.
证明：交换群的任何子群是正规子群。
24.
证明：当n≥5时，n次交代群An是一个单群，即其正规子群只有{(1)}及An．
25.
试证两个正规子群的交集仍构成正规子群．
26.
设G是群，H和K是G的子群假设H和K都是G的正规子群，证明：HK是G的正规子群
27.
Z_5的所有子群都是正规子群吗?为什么?
28.
设 证明G的所有子群都是正规子群。
29.
S3的正规子群有（）。
30.
设H，K是群G的两个正规子群，且H∩K={1}．试证hk=kh，∀h∈H，k∈K.
31.
三次对称群 的全部子群都是正规子群吗?为什么?
32.
设〈H，*〉是Abel群〈G，*〉的正规子群，试证商群〈G/H，〉也是Abel群。
33.
设群G的阶是 2n,子群H是G的正规子群,其阶是n, 则G关于H的商群所含元素的个数是( (____) )
34.
3次对称群 中的正规子群有( )
35.
设〈H1，*〉和〈H2，*〉都是群〈G，*〉的子群，且此二者之一为正规子群，试证H1H2=H2H1，其中H1H2={h1*h2|h1∈H1∧h2∈H2}。
36.
证明：196阶群G必有一个阶大于1的SylOW子群，它是G的一个正规子群．
37.
设G是群，G1，G2是G的正规子群，假设G=G1G2且G1∩G2={e}（此时称G是G1和G2的内直积），证明：G≌G1×G2
38.
设G是np阶群(p是素数)．证明：若n＜p，则G有p阶正规子群．
39.
设群G 的阶为素数p , N 为G 的正规子群,证明:商群G/N 为循环群.
40.
设G是群，Ni，i∈I，是G的一族正规子群，证明：∩i∈INi也是G的正规子群
41.
设H设N是群G的一个正规子群，又≤G．证明：H在G到G／N的自然同态下的象为H／N．设N是群G的一个正规子群，又≤G．证明：H在G到G／N的自然同态下的象为H／N．
42.
证明：若群G的n阶子群有且只有一个，则此子群必为G的正规子群．
43.
设f是群G到群G′的满同态，H′是G′的正规子群，证明：G/f-1（H′）≌G′/H′
44.
求 的所有正规子群及其对应的商群.
45.
证明：指数是2的子群必是正规子群．
46.
设N是群G的一个正规子群，又 ≤G．证明：H在G到G／N的自然同态下的象为H／N．
47.
那个子群不是一般线性群的正规子群
48.
设H是G的子群，具有性质：H的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集，则H是G的一个正规子群．
49.
证明：若群G的n阶子群有且只有一个，则此子群必为G的正规子群．
50.
设G是群，H是G的正规子群，[G：H]=n，证明：对于任意的a∈G都有an∈H
