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刷刷题APP > 标准正交基
"标准正交基"相关考试题目
1. 标准正交基的度量矩阵都是正交矩阵。
2. 设H为可分Hilbert空间，A∈BL(H)。求证：A相对于H的某一标准正交基为对角的当且仅当A为正规的且H为所有A的特征向量生成子空间的闭包。
3. 求矩阵A=，列向量组生成的子窄间的一个标准正交基。
4. 欧式空间两组标准正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵？
5. 设 B = { e 1 ， e 2 ， e 3 ， e 4 ， e 5 } 是欧氏空间 V 5 的标准正交基，令 a 1 = e 1 + e 5 ， a 2 = e 1 - e 2 + e 4 ， a 3 = 2 e 1 + e 2 + e 3 令 W 1 = span{ a 1 ， a 2 ， a 3 } ， W 2 = span{ e 1 ， e 2 ， e 3 } ， 则下列选项中的是
6. 求h满足矩阵的列向量组构成2维复向量空间的一组标准正交基。
7. 设A是n阶正交矩阵，则A的行、列向量组都是R^n的标准正交基。
8. 设ε1，ε2，ε3，ε4，ε5是五维欧氏空间V的一组标准正交基，设V1=L(α1，α2，α3)，其中α1=ε1+ε5，α2=ε1-ε2+ε4，α3=2ε1+ε2+ε3，求V1的一组标准正交基．
9. 任取\(\mathbb{R}^n\)的一组基\(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\),进行Gram-Schmidt正交化之后得到一组标准正交基\(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n.\)令\(U\)为\(\alpha_1,\cdots,\alpha_r\)生成的子空间,\(V\)为\(\alpha_{r+1},\cdots,\alpha_n\)生成...
10. n(n ≥1)维欧氏空间的标准正交基( )。
11. 设α1，α2，α3是R3的一组标准正交基，证明：向量组
12. 空间【图片】中的标准正交基是唯一的.
13. 六、若\((\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\)为\(\mathbb{R}^n\)中的一组标准正交基，其中\(\alpha_i\)为列向量， \(Q\)为正交矩阵，则\((Q\alpha_1,Q\alpha_2,\cdots,Q\alpha_n)\)也为标准正交基。
14. 维欧氏空间的标准正交基
15. 设α1,α2……αn为n维欧氏空间V的一组基．证明：这组基是标准正交基的充分与必要条件是，对V中任意向量α都有α=(α，α1)α1+(α，α2)α2+…+(α，αn)αn．
16. 对于n=0，1，…，令xn(t)=tn，{un}为由{xn}出发在L2[-1，1]中由Gram-Schmidt标准正交化方法得到的标准正交序列。求证：(a){un}为L2[-1，1]的标准正交基。(b)un(t)=((2n+1)/2)1/2Pn(t)，其中P0(t)=1，若n≥1 (15) [Pn(t)被称为n阶Legendre多项式。]
17. 设α1，α2，…，αn为Rn的一组标准正交基，且存在n阶实矩阵A，使得(β1，β2，…，βn)=(α1，α2，…，αn)A求证：β1，β2，…，βn也是Rn的一组标准正交基的充分必要条件是A为正交矩阵。
18. 第二类正交变换在标准正交基下的矩阵行列式等于-1。
19. 设ε1，ε2，ε3，ε4，ε5是五维欧氏空间V的一组标准正交基，设V1=L(α1，α2，α3)，其中α1=ε1+ε5，α2=ε1-ε2+ε4，α3=2ε1+ε2+ε3，求V1的一组标准正交基．
20. 设是的一个标准正交基，下列向量组也是标准正交基的是( ).
21. 设B是秩为2的5×4矩阵，α 1 =[1，1，2，3] T ，α 2 =[-1，1，4，-1] T ，α 3 =[5，-1，-8，9] T 是齐次线性方程组Bx=0的解向量，求Bx=0的解空间的一个标准正交基．
22. 任何Hilbert空间都具有标准正交基.
23. 设是Hilbert空间H的一个标准正交基， 则以下命题中正确的是（ ）.​
24. 设ε1，ε2，ε3，ε4，ε5是五维欧氏空间V的一组标准正交基，设V1=L(α1，α2，α3)，其中α1=ε1+ε5，α2=ε1-ε2+ε4，α3=2ε1+ε2+ε3，求V1的一组标准正交基．
25. 设α 1 ，α 2 ，α 3 是欧氏空间V的一个标准正交基.证明： 也是V的一个标准正交基.
26. 设矩阵A5×4的秩为2，α1=(1，1，2，3)T，α2=(-1，1，4，-1)T和α3=(5，-1，-8，9)T均是齐次线性方程组Ax=0的解向量.求方程组Ax=0的解空间的一个标准正交基.
27. n维欧氏空间两标准正交基的过渡矩阵是 矩阵。
28. 七、若\((\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\)为\(\mathbb{R}^n\)中的一组标准正交基，其中\(\alpha_i\)为列向量， \(A\)为\(n\)阶方阵，\((A\alpha_1,A\alpha_2,\cdots,A\alpha_n)\)也为标准正交基，则\(A\)必为正交矩阵。
29. n维欧氏空间的标准正交基所含向量的个数是任意的。
30. 若欧式空间上的变换把标准正交基映成标准正交基,则此变换为正交变换。
31. 正交变换在任一标准正交基下的矩阵为正交矩阵． 若一线性变换在某组基下矩阵为正交矩阵，则这组基为标准正交基？
32. 三、对任意正整数\(n\)，\(n\)维空间\(\mathbb{R}^n\)中的标准正交基有无穷多组。
33. 正交变换在任一标准正交基下的矩阵为正交矩阵．若一线性变换在某组基下矩阵为正交矩阵，则这组基为标准正交基？
34. 对称变换在任一标准正交基下的矩阵为实对称矩阵．对称变换在任一基下的矩阵为实对称矩阵？
35. 欧式空间两组标准正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵？
36. 正交变换在标准正交基下的矩阵为正交矩阵。
37. 设ε1，ε2，ε3，ε4，ε5是五维欧氏空间V的一组标准正交基，设V1=L(α1，α2，α3)，其中α1=ε1+ε5，α2=ε1-ε2+ε4，α3=2ε1+ε2+ε3，求V1的一组标准正交基。
38. 设V=L(α 1 ，α 2 ，α 3 )，其中α 1 =(1，0，0，0，1)，α 2 =(1，-1，0，1，0)，α 3 =(2，1，1，0，0)，求V的一组标准正交基．
39. 设矩阵A5×4的秩为2，α1=(1，1，2，3)T，α2=(-1，1，4，-1)T和α3=(5，-1，-8，9)T均是齐次线性方程组Ax=0的解向量.求方程组Ax=0的解空间的一个标准正交基.
40. 求齐次线性方程组的解空间(作成R5的子空间)的一组标准正交基．
41. n（大于0）维欧氏空间的标准正交基（ ）。
42. 设{α1，α2，α3，α4}为R4的一组标准正交基，证明：{β1，β2，β3，β4}也为R4的一组标准正交基，其中：β1=（α1+α2+α3+α4），β2=（α1+α2-α3-α4），β3=（α1-α2+α3-α4），β4=（α1-α2-α3+α4）.
43. 下列可以作为空间 的标准正交基的是
44. n维欧氏空间 中标准正交基具有的性质:
45. 设H为可分Hilbert空间，{u n }为H的标准正交基。假定BL(H)中元A和B相对于{u n }的矩阵表示分别为(a ij )和(b ij )，求证： (a)这两个矩阵的每一行和每N均为平方可和的。 (b)AB和A * 分别由(c ij )和(d ij )表示，其中 ,
46. n维欧氏空间V中任意一个正交向量组都可扩充为的的一组标准正交基。
47. 空间中的标准正交基是唯一的.
48. 设W是欧氏空间V的一个子空间，{ε，…，εr}是W的一个标准正交基，令映射T：V→W为T(α)=projwα=〈α，ε1〉ε1+…+〈α，εr〉εr，α∈V证明：T是线性变换(称T为由V到W的正交射影).
49. 设ε1，ε2，ε3，ε4，ε5是五维欧氏空间V的一组标准正交基，设V1=L(α1，α2，α3)，其中α1=ε1+ε5，α2=ε1-ε2+ε4，α3=2ε1+ε2+ε3，求V1的一组标准正交基．
50. 设【图片】是n维欧氏空间V的正交变换,且【图片】是V的标准正交基,则下列叙述正确的有（ ）。