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"自同构"相关考试题目
1.
设Q是有理数域．证明：数域Q（i）={a+bi∣a，b∈Q}有且只有两个自同构．
2.
设p是素数，Zp（α）是Zp的单超越扩张．求xp-α∈Zp（α）[x]的分裂域K及其Zp（α）一自同构的个数．
3.
如果G为非Abel群，证明G的所有自同构构成的群AutG至少含有2个元素．
4.
证明：实数域的自同构只有恒等自同构。
5.
设V=(Z，＋)，其中＋为普通加法，x∈Z，令f1(x)=x，f2(x)=0，f3(x)=x+5，f4(x)=2x，f5(x)=x^2，f6(x)=-x，则f1,f2,f3,f4,f5,f6中有个是V的自同态，其中个不是V的自同构，个只是单自同态，不是满自同态。
6.
设N是群G的一个子群．证明：N是G的特征子群，当且仅当对G的每个自同构σ都有σ(N)=N．
7.
下列映射哪个是域 Z_3 的自同构映射
8.
设V=〈R+，*〉，其中，*为普通乘法，对任意x∈R+，令φ1（x）=∣x∣，φ2（x）=2x，φ3（x）=x2，φ4（x）=1/x，φ5（x）=-x，则其中有个是V的自同态，它们是，有个是单自同态而不是满自同态，个是满自同态而不是单自同态，个是自同构。
9.
设(G，△)是一个群，而a∈G．如果f是从G到G的映射，使得对于每一个x∈G，都有f(x)=a△x△a-1，证明：f是从G到G的自同构．
10.
问：φ（A）=AT（AT为A的转置方阵）是否为一般线性群GLn（F）（n>1）的自同构？又σ（A）=（A-1）T呢？
11.
〈G，*〉是群，证明函数：f：a→a-1是自同构的充分必要条件是〈G，*〉是交换群，
12.
证明：有理数域Q的自同构只有恒等自同构．
13.
证明：有理数域Q的自同构只有恒等自同构．
14.
证明：φ：a→aφ是伽罗瓦域GF（pn）的一个自同构，且这个自同构在GF（pn）的自同构群中的阶是n.
15.
Schwarz引理表明单位开圆盘上的解析自同构，其像的模大于原像的模. （ ）
16.
设V=〈Z，+〉，其中+为普通加法，x∈Z，令φ1（x）=x，φ2（x）=0，φ3（x）=x+5，φ4（x）=2x，φ5（x）=x2，φ6（x）=-x，则φ1，...，φ6中有个是V的自同态，其中个不是V的自同构，个只是单自同态不是满自同态，个是满自同态不是单自同态，零同态的同态像是。
17.
证明有理数域的自同构只有恒等自映射．
18.
有理数域 Q 的自同构只有恒等自同构。
19.
设N是群G的一个子群，证明：N是G的特征子群，当且仅当对G的每个自同构σ都有σ（N）=N.
20.
设a是群G的自同构，且满足 a（g）=g⇒g=1 证明：若G是有限群，则G的每个元素均可写成a（g）g-1形式
21.
设A={a,b,c}, 代数运算○由于下表给出,请写出A的一个自同构映射__________________________
22.
实数域 的自同构只有恒等自同构。
23.
设Q（i）={a+bi丨a，b∈Q}，证明：Q（i）有且仅有两个自同构映射。
24.
设域F的特征p≠0，F（α1，α2，…，αn）是F的扩域，α1，α2，…，αn在F上代数无关，试证：F（α1，α2，…，αn）的—自同构为恒等映射
25.
下列映射哪些是域 R(i)={a+bi|a,b∈Q} 的自同构映射
26.
模p(p为素数)的剩余类环 的域自同构映射只有
27.
有限维欧氏空间上的正交变换一定是自同构。
28.
f(x)=5x 是代数系统(Q,+)上的一个自同构.
29.
找出Z3的所有群的自同构。
30.
设G为群，a∈G．令f：G→G，f(x)=axa -1 ， ，证明f是G的自同构．
31.
设F是一个域，K=F（α）是f（x）=Irr（α，F）的分裂域，K的F一自同构的个数为m，试证m=redf（x）
32.
设Q是有理数域．证明：数域 Q(i)={a+bi|a，b∈Q} 有且只有两个自同构．
33.
问：φ(A)=AT(AT为A的转置方阵)是否为一般线性群GLn(F)(n＞1)的自同构?又σ(A)=(A-1)T呢?
34.
欧氏空间V上的每一个正交变换都是欧氏空间V上的自同构。
35.
找出Z3的所有环的自同构。
36.
证明：Q（i）有而且只有两个自同构映射。
37.
设a是群G的自同构，且满足 a（g）=g⇒g=1 证明：又若a2=idG，则G为奇数阶交换群
38.
设K是域F的有限纯不可分扩张，试问K有多少个F一自同构？
39.
设K是F的有限正规扩张，E1，E2是两个中间域，则E1，E2对F共轭的充要条件是存在K的F一自同构σ，使σ（E1）=E2
40.
证明有理数域的自同构只有恒等自同构．
41.
设a是群G的自同构，且满足 a（g）=g⇒g=1 证明：g⇀a（g）g-1是一一的；
42.
设G是一个群．证明a→a-1是G的自同构当且仅当G是交换群
43.
证明：有理数域Q的自同构只有恒等自同构.
44.
设F是q个元素的有限域，E=F（t）是F的单超越扩张，证明：∀a∈F，存在E的一个F一自同构σa使σa（t）=t+a
