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【简答题】
(本题满分11分)
设A为3阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是线性无关的3维列向量,且满足Aα
1
=α
1
+α
2
+α
3
,Aα
2
=2α
2
+α
3
,Aα
3
=2α
2
+3α
3
.
(Ⅰ)求矩阵A的特征值;
(Ⅱ)问A能否相似对角化;若能,请求出相似变换矩阵P与对角的A;若不能,请说明理由.
题目标签:
相似变换
相似对角化
线性无关
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参考答案:
参考解析:
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举一反三
【单选题】n维向量组α 1 ,α 2 ,…,α 3 (3≤s≤n)线性无关的充要条件是 ( )
A.
存在一组全为零的数k
1
,k
2
,…,k
s
,使k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
=0
B.
α
1
,α
2
,…,α
s
中任意两个向量都线性无关
C.
α
1
,α
2
,…,α
s
中任意一个向量都不能由其余向量线性表出
D.
存在一组不全为零的数k
1
,k
2
,…,k
s
,使k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
≠0
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【简答题】设n维列向量α 1 ,α 2 ,…,α n-1 线性无关,且与非零向量β 1 ,β 2 都正交.证明β 1 ,β 2 线性相关,α 1 ,α 2 ,…,α n-1 ,β 1 线性无关.
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【单选题】设n维向量组 , ,... 线性无关,则( )
A.
向量组中任一向量均可由其余向量线性表示
B.
向量组中只有一个向量可由其余向量线性表示
C.
向量组中存在某一个向量可有其余向量线性表示
D.
以上说法都不正确
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【单选题】设p(x),q(x),f(x)均是x的连续函数,y1(x),y2(x),y3(x)是y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解,c1与c2是两个任意常数,则该非齐次方程的通解是 ( ).
A.
c
1
y
1
+(c
2
+c
1
)y
2
+(1-c
2
)y
3
.
B.
(c
1
-c
1
)y
l
+(c
2
-1)y
2
+(1-c
1
)y
3
.
C.
(c
1
+c
2
)y
1
+(c
1
-c
2
)y
2
+(1-c
1
)y
3
.
D.
c(
1
y
1
+c
2
y
2
+(1-c
1
-c
2
)y
3
.
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【判断题】若向量组A的秩为r(r>0),则A中任意r个线性无关的向量都是A的极大无关组。
A.
正确
B.
错误
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【判断题】组合创新法构思可以从简单组合方式、组合与相似变换、组合与内容置换、信息交合等角度,考虑组合。
A.
正确
B.
错误
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【单选题】若 元线性方程组 满足 ,且 是其三个线性无关的解向量,则( )为其基础解系。
A.
B.
C.
D.
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【简答题】已知A=,求A的特征值、特征向量,并判断A能否相似对角化,说明理由.
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【多选题】向量组α1,α2,α3,...,αs线性无关的必要条件是()。
A.
α
1
,α
2
,...,α
s
都不是零向量
B.
α
1
,α
2
,...,α
s
中至少有一个向量可由其余向量线表示
C.
α
1
,α
2
,...,α
s
中任意两个向量都不成比例
D.
α
1
,α
2
,...,α
s
中任一部分组线性无关
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【简答题】线性代数。设矩阵A=1、0、0;1、2、2;1、1、3,问矩阵A可否相似对角化?若能相似对角化,则求可逆阵P,使P^(-1)AP为对角阵。
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