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"维列向量"相关考试题目
1. 设a1,a2,a3是三维列向量，|A|=|a1,a2,a3|，则与|A|相等的是（ ）。
2. 设α，β都是n维列向量时，证明： ①αβ T 的特征值为0，0，…，0，β T α． ②如果α不是零向量，则α是αβ T 的特征向量，特征值为β T α．
3. 设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件为
4. 设设α为3维列向量，αT是α的转置。若，则αTα＝_______．设α为3维列向量，αT是α的转置。若，则αTα＝_______．
5. 已知4阶方阵A=[α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 ]，α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 均为4维列向量，其中α 1 ，α 2 线性无关，若β=α 1 +2α 2 -α 3 =α 1 +α 2 +α 3 +α 4 =α 1 +3α 2 +α 3 +2α 4 ，则Ax=β的通解为_______
6. 证明：n维列向量组α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关的充分必要条件是行列式
7. 设A=(α 1 ，α 2 ，…，α m )，其中α i 是n维列向量，若对于任意不全为零的常数k 1 ，k 2 ，…，k m ，皆有k 1 α 1 +k 2 α 2 +…+k m α m ≠0，则( )．
8. 设 , ,其中 均为 维列向量,且 ,则 ____.
9. A=Am×n，R(A)=r，b为m维列向量，则有（）。
10. 设向量 是3维列向量,若 ,则 ____
11. 设α为n维列向量，A为n阶正交矩阵，证明：||Aa||=||a||。
12. 设n维列向量α=( 1 2 ,0,⋯,0, 1 2 )T,矩阵A=I−ααT,B=I＋2ααT，则AB=()
13. 设α 1 ，α 2 ，α 3 ，β 1 ，β 2 都是4维列向量，且4阶行列式｜α 1 ，α 2 ，α 3 ，β 1 ｜=m，｜α 1 ，α 2 ，β 2 ，α 3 ｜=n，则4阶行列式｜α 3 ，α 2 ，α 1 ，β 1 +β 2 ｜等于 ( )
14. 设a1,a2 ,L,a m 均为n 维列向量，那么，下列结论正确的是（ ）。
15. 设α1，α2，…，αm均为n维列向量，那么下列结论正确的是( ). (A) 若k1α1＋k2α2＋kmαm=0，则α1，α2，…，αm线性相关. (
16. 设α为3维列向量，αT是α的转置，若ααT=，则αTα=______．
17. 设A＝(α 1 ，α 2 ，…，α m )，其中α 1 ，α 2 ，…，α m 是n维列向量，若对于任意不全为零的常数k 1 ，k 2 ，…，k m ，皆有k 1 α 1 ＋k 2 α 2 ＋…＋k m α m ≠0，则( )．
18. 设4阶方阵A＝[α γ 2 γ 3 γ 4 ]，B＝[β γ 2 γ 3 γ 4 ]，其中α，β，γ 2 ，γ 3 ，γ 4 都是4维列向量，且｜A｜＝4，｜B｜＝1，则｜A＋B｜的值．
19. 设α 1 ，α 2 ，…，α n 为n个线性无关的n维列向量，且与向量β正交．证明：向量β为零向量．
20. 已知四维列向量α1，α2，α3线性无关，若向量βi(i=1，2，3，4)是非零向量且与向量α1，α2，α3均正交，则向量组β1，β2，β3，β4的秩为( )
21. 设A为n阶方阵.证明：对任意n维列向量b，线性方程组Ax=b都有解的充分必要条件是|A|≠0.
22. 已知四维列向量α1，α2，α3线性无关，若向量βi(i=1，2，3，4)是非零向量且与向量α1，α2，α3均正交，则向量组β1，β2，β3，β4的秩为( )
23. 设矩阵A=E+2αβT，其中α，β是n维列向量，且αTβ=2，则A-1=______。
24. 已知`\vec\alpha _1,\vec\alpha _2,\vec\beta _1,\vec\beta _2`是3维列向量,设`\A = [\vec\alpha _1,\vec\alpha _2,\vec\beta _1],B = [\vec\alpha _1,\vec\alpha _2,\vec\beta _2],| A | = 2,| B | = 3`, 则行列式`\| 2A - B| =...
25. 设方程组Ax=β有解(1，2，2，1)T和(1，-2，4，0)T，其中矩阵A=(α1，α2，α3，α4)的秩为3，且α1，α2，a3，α4，β都是4维列向量，求方程组By=α1+2α2的通解，其中矩阵B=(α3，α2，α1，β-α4)．
26. 设n维列向量组α 1 ，α 2 ，…，α m (m 1，β 2，…，β m线性无关的充分必要条件是( )．
27. 设 α 1 , α 2 , α 3 ,β,γ 都是4维列向量，且4阶行列式 | α 1 , α 2 , α 3 ,β |=a ， | γ, α 1 , α 2 , α 3 |=b ，则4阶行列式 | α 1 , α 2 , α 3 ,β+γ |=
28. 设n维列向量组α 1 ，α 2 ，…，α m (m＜n)线性无关，则n维列向量组β 1 ，β 2 ，…，β m 线性无关的充分必要条件为 ( )
29. 设a, b, c, d, f都是4维列向量,行列式det(a,b,c,d)=m, det(a,b,f,c)=n, 则det(a,b,c,d+f)= ().
30. 设n维列向量组α 1 ，α 2 ，…，α m (m＜n)线性无关，则n维列向量组β 1 ，β 2 ，…，β m 线性无关的充分必要条件是( )．
31. (2000年试题，二)设n维列向量组α 1 ，…，α m (m 1，…，β m线性无关的充分必要条件为( )．
32. 设α1，α2，α3均为3维列向量，设矩阵A=(α1，α2，α3)，B=(α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3)，若|A|=1，求|B|。
33. 设 均为四维列向量, , ,且 =( )
34. 已知α 1 ，α 2 ，α 3 ，β，γ都是4维列向量，且｜α 1 ，α 2 ，α 3 ，β｜=α，｜β+γ，α 3 ，α 2 ，α 1 ｜=b，则｜2γ，α 1 ，α 2 ，α 3 ｜=___________．
35. 已知3维列向量组S1：α1，α2线性无关；S2：β1，β2线性无关． 设α1=(-1，2，3)T，α2=(1，-2，-4)T，β1=(-2，a．7)T，β2=(-1，2，5)T，求(Ⅰ)中的ξ．
36. 已知 均为4维列向量,且 则
37. 已知`\vec\alpha _1,\vec\alpha _2,\vec\beta _1,\vec\beta _2`是4维列向量,设`\| alpha _1,alpha _2,alpha _3,beta | = a,| beta + gamma ,alpha _3,alpha _2,alpha _1| = b`,则`\| 2\gamma ,alpha _1,alpha _2,alpha _3 | =...
38. 设矩阵A=(a ij ) m×n ，若对任意n维列向量x，均有Ax=0，试证：A=O.
39. 设A=( )为 矩阵,b为m维列向量,线性方程组 有解当且仅当向量组 线性相关.
40. 已知3维列向量α，β满足α T β=3，设3阶A=βα T ，则：
41. 设有3维列向量 问λ取何值时： (1)β可由α1，α2，α3线性表示，且表达式唯一； (2)β可由α1，α2，α3线性表示，且表达式不唯一； (3)β不能由α1，α2，α3线性表示．
42. 设 是n级方阵,n维列向量组 线性无关,则向量组 线性相关的充分必要条件是 .
43. 设α为3维列向量，α T 是α的转置，若 ，则α T α=______。
44. 设3阶方阵A=(α，γ1，γ2)，B=(β，γ1，γ2)，其中α，β，γ1，γ2都是3维列向量，且|A|=3，|B|=4，则|5A-2B|=______．
45. 设α是3维列向量，满足 ，求α T α.
46. 设α₁，α₂，β₁，β₂是3维列向量，且3阶行列式|α₁，α₂，β₁|=m，|α₂，β₂，α₁|=n，则|α₂，α₁，β₁+β₂|=________。
47. 设n维列向量组α 1 ，α 2 ，…，α m (m＜n)线性无关，则n维列向量组β 1 ，β 2 ，…，β m 线性无关的充分必要条件为
48. 已知n维列向量α 1 ，α 2 ，…，α n-1 。线性无关，且与非零向量β 1 ，β 2 都正交，试证： (Ⅰ)β 1 ，β 2 线性相关； (Ⅱ)α 1 ，α 2 ，…，α n-1 ，β 1 线性无关．
49. s维列向量组a 1 ,a 2 ,...,a s 线性相关,则|a 1 ,a 2 ,...,a s|=_____
50. 设m×n矩阵A的秩为n，又已知n维列向量组α1，α2，…，αs(s≤n)线性无关.证明：向量组Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关.