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【简答题】

设H为可分Hilbert空间，{u n }为H的标准正交基，{k n }为有界纯量列求证：， x∈H 定义了H上的正规算子[这样的算子被称为对角算子 ]。求A的特征值和谱。

题目标签：标准正交基正规算子正交基

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参考答案：

参考解析：

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举一反三

【判断题】欧式空间两组标准正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵？

A.

对

B.

错

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【单选题】求h满足矩阵的列向量组构成2维复向量空间的一组标准正交基。

A.

B.

C.

D.

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【判断题】设A是n阶正交矩阵，则A的行、列向量组都是R^n的标准正交基。

A.

正确

B.

错误

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【判断题】空间【图片】中的标准正交基是唯一的.

A.

正确

B.

错误

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【简答题】对于n=0，1，…，令xn(t)=tn，{un}为由{xn}出发在L2[-1，1]中由Gram-Schmidt标准正交化方法得到的标准正交序列。求证：(a){un}为L2[-1，1]的标准正交基。(b)un(t)=((2n+1)/2)1/2Pn(t)，其中P0(t)=1，若n≥1 (15) [Pn(t)被称为n阶Legendre多项式。]

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【判断题】第二类正交变换在标准正交基下的矩阵行列式等于-1。

A.

正确

B.

错误

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【简答题】设A为有限维复Hilbert空间，A为H上的正规算子，求证：A=p(A)，其中P为某一复系数多项式。由此推出若算子B与A可交换，则B也与A可交换。

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【简答题】设B是秩为2的5×4矩阵，α 1 =[1，1，2，3] T ，α 2 =[-1，1，4，-1] T ，α 3 =[5，-1，-8，9] T 是齐次线性方程组Bx=0的解向量，求Bx=0的解空间的一个标准正交基．

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【单选题】任何Hilbert空间都具有标准正交基.

A.

正确

B.

错误

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【简答题】设矩阵A5×4的秩为2，α1=(1，1，2，3)T，α2=(-1，1，4，-1)T和α3=(5，-1，-8，9)T均是齐次线性方程组Ax=0的解向量.求方程组Ax=0的解空间的一个标准正交基.

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【单选题】七、若\((\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\)为\(\mathbb{R}^n\)中的一组标准正交基，其中\(\alpha_i\)为列向量， \(A\)为\(n\)阶方阵，\((A\alpha_1,A\alpha_2,\cdots,A\alpha_n)\)也为标准正交基，则\(A\)必为正交矩阵。

A.

正确

B.

错误

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【单选题】三、对任意\(n\)，\(n\)维空间\(\mathbb{R}^n\)中的标准正交基有无穷多组。

A.

正确

B.

错误

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【简答题】正交变换在任一标准正交基下的矩阵为正交矩阵．若一线性变换在某组基下矩阵为正交矩阵，则这组基为标准正交基？

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【简答题】将标谁欧几里得空间R4的基α1=（1，1，0，0），α2=（1，0，1，0），α3=（-1，0，0，1），α4=（1，1，1，-1）化为规范正交基

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【判断题】正交变换在标准正交基下的矩阵为正交矩阵。

A.

正确

B.

错误

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【简答题】设V=L(α 1 ，α 2 ，α 3 )，其中α 1 =(1，0，0，0，1)，α 2 =(1，-1，0，1，0)，α 3 =(2，1，1，0，0)，求V的一组标准正交基．

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【单选题】设 a ， b 是一组非正交的基底，为得到正交基底，可在集合 { a +t b |t∈R} 中找一个向量与 a 组成一组正交基底，根据上述要求，若 a =(1，2) ， b =(2，3) ，则t的值为（　　）

A.

- 3 8

B.

- 5 11

C.

- 5 8

D.

- 7 9

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【多选题】n维欧氏空间中标准正交基具有的性质:

A.

是一个非零向量组

B.

其中每个向量都是单位向量

C.

是唯一的

D.

任两个相异向量内积为零

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【简答题】设H为可分Hilbert空间，{u n }为H的标准正交基。假定BL(H)中元A和B相对于{u n }的矩阵表示分别为(a ij )和(b ij )，求证： (a)这两个矩阵的每一行和每N均为平方可和的。 (b)AB和A * 分别由(c ij )和(d ij )表示，其中 ,

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【多选题】设【图片】是n维欧氏空间V的正交变换,且【图片】是V的标准正交基,则下列叙述正确的有（）。

A.

也是V 的标准正交基。

B.

在基下的矩阵是正交矩阵。

C.

是欧氏空间V 到自身的同构映射。

D.

的行列式是 1或-1。

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对

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C.

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正确

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A.

正确

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错误

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正确

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错误

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【简答题】设B是秩为2的5×4矩阵，α 1 =[1，1，2，3] T ，α 2 =[-1，1，4，-1] T ，α 3 =[5，-1，-8，9] T 是齐次线性方程组Bx=0的解向量，求Bx=0的解空间的一个标准正交基．

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正确

B.

错误

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【单选题】七、若\((\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\)为\(\mathbb{R}^n\)中的一组标准正交基，其中\(\alpha_i\)为列向量， \(A\)为\(n\)阶方阵，\((A\alpha_1,A\alpha_2,\cdots,A\alpha_n)\)也为标准正交基，则\(A\)必为正交矩阵。

A.

正确

B.

错误

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A.

正确

B.

错误

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【判断题】正交变换在标准正交基下的矩阵为正交矩阵。

A.

正确

B.

错误

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A.

- 3 8

B.

- 5 11

C.

- 5 8

D.

- 7 9

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【多选题】n维欧氏空间中标准正交基具有的性质:

A.

是一个非零向量组

B.

其中每个向量都是单位向量

C.

是唯一的

D.

任两个相异向量内积为零

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【简答题】设H为可分Hilbert空间，{u n }为H的标准正交基。假定BL(H)中元A和B相对于{u n }的矩阵表示分别为(a ij )和(b ij )，求证： (a)这两个矩阵的每一行和每N均为平方可和的。 (b)AB和A * 分别由(c ij )和(d ij )表示，其中 ,

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A.

也是V 的标准正交基。

B.

在基下的矩阵是正交矩阵。

C.

是欧氏空间V 到自身的同构映射。

D.

的行列式是 1或-1。

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