下载APP
刷刷题APP > 标准正交序列
"标准正交序列"相关考试题目
1.
对于n=0，1，2，…，令xn(t)=e-t/2tn。设{un}为由{xn}出发在L2(0，∞)上由Gram-Schmidt标准正交化方法得到的L2(0，∞)的标准正交序列。求证：{un}为L2(0，∞)的标准正交基。[Ln(t)=et/2un(t)为多项式，称为n阶Laguerre多项式。]
2.
对于n=0，1，…，令x n (t)=t n ，{u n }为由{x n }出发在L 2 [-1，1]中由Gram-Schmidt标准正交化方法得到的标准正交序列。求证： (a){u n }为L 2 [-1，1]的标准正交基。 (b)u n (t)=((2n+1)/2) 1/2 P n (t)，其中P 0 (t)=1，若n≥1 (15) [P n (t)被称为n阶Legendre多项式。]
3.
设H为无穷维Hilbert空间，{un}为H的标准正交基，{un}为H的某一标准正交序列。{kn}为一纯量列。求证：(a)若{kn}为有界的，则，x∈H定义了BL(H)中一元。(b)A为紧的当且仅当kn→0(c)A为Hilbert-Schmidt算子当且仅当
4.
设{un}为可分Hilbert空间H的完全标准正交序列，A∈BL(H)且对某A(un)=λun-un+1，n=1，2，…。 求σ(A)
5.
对于n=0，1，…，令xn(t)=tn，{un}为由{xn}出发在L2[-1，1]中由Gram-Schmidt标准正交化方法得到的标准正交序列。求证：(a){un}为L2[-1，1]的标准正交基。(b)un(t)=((2n+1)/2)1/2Pn(t)，其中P0(t)=1，若n≥1 (15) [Pn(t)被称为n阶Legendre多项式。]
6.
设A为Hilbert空间H上的紧算子，{un}为H的无穷标准正交序列，求证：在H中有Aun→0
7.
设H为无穷维Hilbert空间，{u n }为H的标准正交基，{u n }为H的某一标准正交序列。{k n }为一纯量列。求证： (a)若{k n }为有界的，则 ，x∈H 定义了BL(H)中一元。 (b)A为紧的当且仅当k n →0 (c)A为Hilbert-Schmidt算子当且仅当
8.
若n=0，1，2，…，令xn(t)=tne-t2/2，{un}为从{xn}出发在L2(-∞，∞)中由Gram-Schmidt标准正交化方法得到的标准正交序列。求证：{un}为L2(-∞，∞)的标准正交基。[Hn(t)=(2nn!)1/2π1/4et2/2un(t)为多项式，被称为n阶Hermite多项式。]
9.
设H为无穷维Hilbert空间，{un}为H的标准正交基，{un}为H的某一标准正交序列。{kn}为一纯量列。求证：(a)若{kn}为有界的，则，x∈H定义了BL(H)中一元。(b)A为紧的当且仅当kn→0(c)A为Hilbert-Schmidt算子当且仅当
10.
设A为Hilbert空间H上的紧算子，{un}为H的无穷标准正交序列，求证：在H中有Aun→0
