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"本征态"相关考试题目
1.
一量子体系处于角动量与的共同本征态，总角动量平方值为。已知在该态中测量的值为0的几率是1/2，那么测量的值为的几率是多少？
2.
已知描述质量为μ的单粒子一维束缚态的两个能量本征函数分别为 其中A，B，b，c均为实常数，-∞＜x＜∞．已知描述质量为μ的单粒子一维束缚态的两个能量本征函数分别为 其中A，B，b，c均为实常数，-∞＜x＜∞． 求这两个本征态的能量差，
3.
一量子体系处于角动量 与 的共同本征态,总角动量平方值为 。已知在该态中测量 的值为0的几率是1/2,那么测量 的值为 的几率是多少?
4.
求自旋角动量方向的投影： 本征值和所属的本征函数。 在这些本征态中，测量有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？的平均值是多少？
5.
算符A本征态是指()
6.
因为每个量子状态只允许一个电子占据,那么,电子总数就等于系统中所有的本征态的fE值相加
7.
对于角动量算符(J2，Jz)的共同本征态|jm〉，证明
8.
粒子在一维对称无限深方势阱中运动。设t=0时，粒子所处状态为，其中为系统第n个能量本征态。求t＞0时的以下量： 能量的可取值以及相应的概率。 粒子在一维对称无限深方势阱中运动。设t=0时，粒子所处状态为，其中为系统第n个能量本征态。求t＞0时的以下量：
9.
考虑自旋后，假设电子的总角动量本征态为 ，它是算符( )的共同本征态，则在该态上三个力学量的本征值分别为 。（ ）
10.
已知描述质量为μ的单粒子一维束缚态的两个能量本征函数分别为 其中A，B，b，c均为实常数，-∞＜x＜∞．已知描述质量为μ的单粒子一维束缚态的两个能量本征函数分别为 其中A，B，b，c均为实常数，-∞＜x＜∞．已知描述质量为μ的单粒子一维束缚态的两个能量本征函数分别为 其中A，B，b，c均为实常数，-∞＜x＜∞． 设波函数是一维势场V(x)中质量为μ的粒子...
11.
自旋1/2粒子，处于(l2，j2，jz)的共同本征态|ljmj〉，证明(取h=1)
12.
与驻波类似，在一维无限深势阱中的微观粒子的波会出现不同的一系列的本征态
13.
一个质量为m的粒子在势V（x）作用下作一维运动。假定它处在的能量本征态。求粒子的平均动量。
14.
一维谐振子的相于态|z〉定义为湮灭算符a的本征态，即a|z〉=z|z〉，其中z为复数，而湮灭算符a如下给出其中，而m、ω分别为谐振子的质量、频率．(1)试求解该相干态的坐标表象波函数；(2)试对该相干态计算Δx·Δp．
15.
质量为m的粒子处于能量为E的本征态，波函数为，问粒子在什么样的位势中运动？
16.
ψ是氢原子波函数，下列函数哪些是的本征态，如果是，请求其本征值；如不是请填否。
17.
考虑自旋为的系统。试在表象中求算符的本征值及归一化的本征态。 其中是角动量算符，而A，B为实常数。 考虑自旋为的系统。试在表象中求算符的本征值及归一化的本征态。 其中是角动量算符，而A，B为实常数。
18.
对于角动量算符(J 2 ，J z )的共同本征态|jm〉，证明
19.
在一维盒子中的粒子,在能量本征值为En的本征态中,对盒子的壁的作用力多大?
20.
自旋为，磁矩为μ，电荷为零的粒子置于磁场中。 t=0时磁场为 =(0，0，B0) ，粒子处于 的本征值为-1的本征态 。 设在t＞0时，再加上弱磁场 ， 求t＞0时的波函数，以及测到自旋反转的概率。 自旋为，磁矩为μ，电荷为零的粒子置于磁场中。 t=0时磁场为 =(0，0，B0) ，粒子处于 的本征值为-1的本征态 。 设在t＞0时，再加上弱磁场 ， 求t＞0时的波函数，以及测到自旋反转的概率。
21.
设J 1 和J 2 为属于不同自由度的角动量，则它们之和J=J 1 +J 2 也是角动量． 的共同本征态|j 1 j 2 jm〉简记为|jm〉．试求〈j'm'|J 1 |jm〉≠0时量子数j和m的选择定则，即求Δj=(j'-j)和△m=(m'-m)的允许值．
22.
设粒子开始时处于基态(n=1)，．在t=0时刻阱宽突然从右边变为2a，而粒子波函数来不及改变，即在0≤x≤a而对于x＜0或者x＞a，ψ(x，0)=0．试问，对于加宽了的势阱ψ(x，0)是否还是能量本征态?求测得粒子能量仍为E1的几率．
23.
相干态是产生算符的本征态，其本征值为复数。（ ）
24.
某一个二能级微观体系，其力学量A与H(H不含时)不对易，A有本征值为a 1 、a 2 ，相应的本征态分别为 ， 其中u 1 、u 2 为H的本征态，相应的本征值分别为E 1 、E 2 ．若t=0时系统初态处于χ 1 ，试求A在t时刻的平均值〈A(t)〉．
25.
若 ,则在其共同本征态上,力学量F和G必同时具有确定值。
26.
在σz表象中，求σ·n的本征态，其中n=(sinθcosφ，sinθsinφ，cosθ)是(θ，φ)方向的单位矢量．
27.
一维谐振子的湮灭算符(自然单位) 的本征方程表示为a|α〉=a|α〉，|α〉可以表示为谐振子能量本征态的相干叠加，|α〉= ．试证明：归一化的本征态|α〉可以表示为 其中|α〉称为谐振子的相干态．
28.
求自旋角动量在(cosα，cosβ，cosγ)方向的投影 的本征值和所属的本征函数． 在这些本征态中，测量有哪些可能值?这些可能值各以多大的概率出现?的期望值是多少?
29.
设表示Lz的本征态（本征值为），证明 是角动量沿空间（θ，φ）方向的分量Ln 的本征态。
30.
∣n〉为Lz的本征态，本征值为nh。求在Lz的本征态∣n〉下，Lx和Ly的平均值。
31.
在一维盒子中的粒子，在能量本征值为$E_n$的本征态中，试求对盒子的壁的作用力为多大
32.
“ 非简并本征态的线性组合也仍然是该体系的可能状态,但一般不再是原来算符的本征态,而是非本征态 ” 。试判断该论述是否正确?并加以证明。
33.
对于算符Ĝ的非本征态ψ，下面哪种说法是对的（）
34.
已知分别为电子的轨道角动量和自旋角动量，为电子的总角动量。的共同本征态为Φljmj。证明Φljmj是的本征态，并就j=l+1/2和j=l-1/2两种情况分别求出其相应的本征值。
35.
角动量分量算符 ，试证明氢原子薛定谔方程的复函数解 的本征函数，而实函数解 不是 的本征态。
36.
厄米算符A的本征函数 ,而波函数 , φ也是算符A的本征函数或本征态。
37.
一维谐振子的Hamilton量为，x∈(-∞，∞)．在坐标表象中，它的能量本征态波函数为，这里Nn是归一化系数，Hn为Hermite多项式．试在动量表象中求出它的能量本征值和相应的波函数．
38.
教材一(4)中，证明变分法时所用变分函数是能量本征态的线性组合，但分子轨道变分函数却选用原子轨道的线性组合，请问这是否矛盾?
39.
在σz表象中，求σ·n的本征态，其中n=(sinθcosφ，sinθsinφ，cosθ)是(θ，φ)方向的单位矢量．
40.
简述两个算符存在共同的完备本征态的充要条件，并举一例说明（要求写出本征函数系）。在这些态中，测量这两个算符对应的力学量时，两个测量值是否可以同时确定？
41.
电子的总角动量本征态为 ，则量子数 一定等于1。（ ）
42.
对于(l2，lz)的共同本征态Ylm(θ，φ)，计算和的平均值，以及△lx、△ly，并验证不确定度关系．
43.
在参数缓慢变化的哈密顿量驱使下，系统如果从某一即时本征态出发，则永远在同一标记的即时本征态下。且如果参数完成一个循环，则系统获得一个不依赖于路径的几何相位。（ ）
44.
一双能级系统的能量分别为E1和E2，对应的本征态为φ1和φ2，受到周期性微扰作用，在能量表象中微扰矩阵为．设初始时刻系统处于状态φ1，求经过时间t后跃迁到状态φ2的概率．
45.
一维势阱具有下列单粒子能量本征态： 两个无相互作用的粒子置于该势阱中。对下列不同情况写出：两粒子体系可具有的两个最低总能量值及相应的简并度；与上述能级对应的所有二粒子波函数。两个自旋为1/2的可区分粒子。
46.
有一个量子力学体系，其Hamilton算符为H=H0+H'(1)H0为零级Hamilton量，H'为微扰．H0的本征函数和本征值记为，，k=1，2，…，n，…设能级是二重简并的，相应的正交归一化的本征态记为、，简记为ψα、ψβ．在H0表象中，微扰矩阵元记为等等．试导出能级的微扰修正公式(--级近似)，并讨论所得结果．
47.
证明在Lz的本征态下，．(提示：利用，求平均．)
48.
所有量子态都可分为本征态和非本征态,这句话是否确切?
49.
已知氢原子初态如下给出 其中ψ nlm 为该氢原子的力学量 的归一化共同本征态，而χ ↑ 、χ ↓ 分别为电子自旋z分量s z 的两个归一化本征态． (1)试写出t＞0时刻的波函数； (2)试求此时能量期望值； (3)试求此时自旋z分量s z 的期望值．
50.
若 ,则在其共同本征态上,力学量 F 和 G 必同时具有确定值。
