已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点与抛物线C2：y2=4x的焦点F重合，椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P，|PF|=53．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）若过点A（-1，0）的直线与椭圆C1相交于M、N两点，求使FM+FN=FR成立的动点R的轨迹方程；
（3）若点R满足条件（2），点T是圆（x-1）2+y2=1上的动点，求|RT|的最大值．