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"赋范"相关考试题目
1.
开创京都赋范例的作品是 ( )。
2.
设(X,‖‖)是赋范空间,对于x,y∈X令 证明d1是X上的距离但不是由范数诱导的距离。
3.
设X和Y都是赋范空间,X是有限维空间,证明从X到Y的线性映射都是连续的。
4.
赋范空间的真子空间一定不是( ).
5.
设X,Y是赋范空间,F∈BL(X,Y)。证明若F映X的开子集为Y的开子集,则F是满射。
6.
赋范子空间一定是距离子空间.
7.
开创京都赋范例的作品是
8.
以下空间中,属于有限维赋范空间的是( ).
9.
在线性赋范空间中,范数1强于范数2是指()。
10.
在赋范空间中,( )是凸集.
11.
设X,Y是赋范空间,在X×Y上定义范数‖(x,y)‖=max{‖x‖,‖y‖};证明:F∈(X×Y) * 当且仅当有唯一的(f,g)∈X * ×Y * 使F(x,y)=f(x)+g(y),此时‖F‖=‖f‖+‖g‖.
12.
设X是数域上的赋范空间,f是X上的非零的线性泛函.证明:
13.
设X是具有Schauder基的赋范空间,则( ).
14.
赋范空间的子空间一定不是开子空间.
15.
求证:若赋范空间X的对偶空间X'为可分的,则X也必可分。
16.
若X为自反赋范空间,证明:X'也为自反的。
17.
设X,Y为赋范空间,F∈BL(X,y)。求证;‖F‖=sup{|y'(F(x))|:x∈X,‖x‖≤1,y'∈Y',‖y'‖≤1}
18.
设X1和x2是赋范空间X的子空间,X1是闭的,X2是有限维的。证明X1+X2在X中是闭的。再推出X的有限维子空间都是闭的。
19.
以下赋范空间中,具有Schauder基的无限维空间是( ).
20.
赋范空间的子空间必为闭子空间.
21.
设X,Y是赋范空间,在X×Y上定义范数‖(x,y)‖=max{‖x‖,‖y‖};证明:F∈(X×Y)*当且仅当有唯一的(f,g)∈X*×Y*使F(x,y)=f(x)+g(y),此时‖F‖=‖f‖+‖g‖.
22.
题目:随机赋范模在随机优化中的应用
23.
证明:若赋范空间X是可分的,Y是X的闭子空间,则商空间X/Y是可分的。
24.
设X是赋范空间,d是由范数诱导的距离,则d满足( ).
25.
证明:若赋范空间中的一个有界线性泛函的保范延拓不唯一,则所有保范延拓的基数不小于连续统的基数.
26.
设X是赋范空间,xk∈X(k=1,2,…,n),a1,a2,…,an是一组数并满足条件:存在常数M>0,使得对任意数t1,t2,…,tn有证明:存在X上的线性泛函f,使得‖f‖≤M且f(xk)=ak(k=1,2,…,n).
27.
设X,Y为赋范空间,F∈BL(X,y)。求证; ‖F‖=sup{|y'(F(x))|:x∈X,‖x‖≤1,y'∈Y',‖y'‖≤1}
28.
设(x,‖·‖)是赋范空间.对于x,y∈X,令证明ρ0是X上的度量但不是由范数诱导的度量.
29.
设X,Y为赋范空间,F∈CL(X,Y),问:是否有
30.
设Y是赋范空间X的子空间,g∈Y'且f∈X'是g的Hahn-Banach延拓。证明:
31.
设X是赋范空间,f是X上的非零有界线性泛函。证明:E={x∈X:f(x)=‖f‖)是X的非空闭凸子集且inf(‖x‖:x∈E}=1
32.
设X和Y是赋范空间,x≠{0}。证明若BL(X,Y)是Banach空间,则Y是Banach空间。
33.
若赋范空间X中的球U(0,r)={x∈X:‖x‖<r},r>0是完全有界的,证明X是有限维的。
34.
设X和Y为赋范空间,φ:为共轭双线性泛函。对x∈X,y∈Y,令 求证:(a)若φ为有界的,则它在X×Y上连续。(b)若φ为有界的,则任取x∈X,y∈Y有fy∈X',fx∈Y'(c)若任取x∈X,y∈Y,有fy∈X',fx∈Y'且X或Y为Banach空间,则φ必为有界的。
35.
设X为上赋范空间,Ω,为完备的有限测度空间,证明x=x(t):Ω→X可测的充要条件是它为一列有限值函数(可测的简单函数)几乎处处收敛的极限.
36.
设X,Y,Z为赋范空间,F∈BL(X,Y),G∈BL(Y,Z)。求证:(G·F)'=F'·G'
37.
设X是赋范空间,凸集A,BX.证明:
38.
设X是数域 上的赋范空间,f是X上的非零的线性泛函.证明:
39.
证明若赋范空间有Schauder基,则它是可分的。
40.
设X是赋范空间,A,A1,A2是X的非空有界子集,b∈,α是非紧性测度,证明:
41.
设E是赋范空间X的子集,Y=spanE,a∈X。证明当且仅当对所有在E上恒为0的f∈X’'有f(a)=0。
42.
设X和Y是赋范空间。E是X的有界完备凸子集, 是满足下列条件的连续映射F:X→Y的集合:对0<r<1及x,y∈E, F(rx+(1-r)y)=rF(x)+(1-r)F(y) 证明 在E上一致有界当且仅当它在E上逐点有界。
43.
设G是赋范空间X的子空间,证明x0∈当且仅当对于X上任一满足f(x)=0(x∈G)的有界线性泛函f必有f(x0)=0.
44.
设E是赋范空间X的子集,Y=spanE,a∈X。证明 当且仅当对所有在E上恒为0的f∈X’'有f(a)=0。
45.
设X,Y为赋范空间,F∈CL(X,y)。求证:R(F)为可分赋范空间。
46.
证明:若X和Y都是非零的赋范空间,且是Banach空间,则Y必是Banach空间.
47.
证明:若赋范空间中的一个有界线性泛函的保范延拓不唯一,则所有保范延拓的基数不小于连续统的基数.
48.
设E1和E2是赋范空间X的子集,若E1是紧的,E2是闭的且E1∩E2=,证明存在r>0使得(E1+U(0,r))∩E2=,其中U(0,r)={x∈X:‖x‖﹤r}
49.
若X为赋范空间,A∈BL(X)为可逆的,求证:
50.
设E是赋范空间X的子空间. E是Banach空间的充分必要条件是E是X的闭子空间.