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"上半连续"相关考试题目
1.
设V是中的非空开集，μ是上的正则的有限正Borel测度，令f(x)=μ(V+x)，x∈．则函数f必定连续吗?必定下半连续吗?必定上半连续吗?
2.
设x是有单位元e的复Banach代数．证明：谱半径r(x)在X上是上半连续的．
3.
设X是有单位元e的复Banach代数．证明：σ(x)作为X上的集值函数是上半连续的：对点a∈X及中0的任意邻域V，存在B(a，δ)使x∈B(a，δ)有σ(x)σ(a)+V．
4.
设f是拓扑空间(X，τ)上的任意复函数，定义φ(x，V)=sup{|f(s)-f(t)|：s，t∈V}，V∈τ，x∈V；φ(x)=inf{φ(x，V)：V∈τ)，x∈V．证明φ是上半连续的，并且f在点x连续当且仅当φ(x)=0．从而任何复函数连续点的集都是一个Gδ集．
5.
试证明： 设f(x)是R 1 上的非负函数， 是闭集，若视f(x)是F上的函数是连续的，则函数g(x)=f(x)．χ F (x)是上半连续函数.
6.
试证明：设f(x)是R1上的非负函数，是闭集，若视f(x)是F上的函数是连续的，则函数g(x)=f(x)．χF(x)是上半连续函数.
7.
设f是拓扑空间(X，τ)上的任意复函数，定义 φ(x，V)=sup{|f(s)-f(t)|：s，t∈V}， V∈τ，x∈V； φ(x)=inf{φ(x，V)：V∈τ)，x∈V． 证明φ是上半连续的，并且f在点x连续当且仅当φ(x)=0．从而任何复函数连续点的集都是一个G δ 集．
8.
若X是紧的拓扑空间且f：X→(-∞，∞)是上半连续的，证明f在X中某点能取得最大值．
