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"主理想整环"相关考试题目
1.
证明：整数环Z是主理想整环。
2.
设D是一个主理想整环，则D上每一个真因子链都有限.（）
3.
证明：在主理想整环中，P是素理想当且仅当P由素元生成.
4.
设R是主理想整环，a，b∈R，证明：a与b互素存在u，v∈R使ua+vb=1。
5.
设K是主理想整环，又(a，b)=(d)．证明：d是a，b的一个最大公因子．由此进一步指出，a与b的任何最大公因子d’均可表为 d=as+bt (s,t∈K)．
6.
设K是一个主理想整环，0≠a∈K．证明：在K中仅有有限个理想包含a．
7.
设E是主理想整环，R1是交换整环，且R1⊇R，又设a，b∈R*，d为a，b在R中最大公因子．证明d也是a，b在R1中最大公因子．
8.
设K是一个主理想整环，0≠a∈K．证明：在K中仅有有限个理想包含a.
9.
主理想整环的子环也是主理想子环.( )
10.
主理想整环的商环也是主理想整环.( )
11.
问：主理想整环的子环是否仍是主理想整环？请证明或举出反例．
12.
证明：在主理想整环中．P是素理想当且仅当P由素元生成．
13.
证明：实数域R上的二元多项式环R[x，y]不是主理想整环.
14.
设K’，K是两个主理想整环，且K’≤K.又a，b∈K’，d是a与b在K’中的最大公因子．证明：d也是a与b在K中的一个最大公因子.
15.
设R是一个整环，令，由于Z是主理想整环，因此存在n≥0，使得Ker（a）=（n）。证明：当n>0时，char（R）=n；当n=0时，char（R）=∞
16.
设 为主理想整环, 为 的非平凡理想,则 是主理想整环.( )
17.
判断如下说法是否正确,正确的在后面的括号内打√,错误的在后面的括号内打× 数的减法满足结合律() 矩阵的乘法满足交换律() 群中的运算满足结合律() 有限群就是元素个数有限的群() 无限群就是元素的阶都无限的群() 整环就是整数环() 除环就是任意两个元素可以相除的环() 分式域就是所有分数构成的域() π是有理数域上的代数元() i是有理数域上的超越元() 模6剩余类环是主理想整环() 正规子群...
18.
设R是一个无限的主理想整环，试证若R中只有有限个可逆元，则R中有无限多个素理想．
19.
证明：实数域R上的二元多项式环R[x，y]不是主理想整环．
20.
欧几里得整环都是主理想整环.( )
21.
整系数多项式环 是主理想整环.( )
22.
主理想整环一定是唯一分解整环.
23.
证明：Z[x]不是主理想整环。
24.
设M是主理想整环K的一个非零理想．证明：M是K的极大理想⇔M是K的素理想.
25.
主理想整环上的多项式环一定是主理想整环
26.
设K是主理想整环，又〈a，b〉=〈d〉．证明：d是a，b的一个最大公因子．由此进一步指出，a与b的任何最大公因子d’均可表为d’=as+bt（s，t∈K）.
27.
证明：主理想整环K中的元素a1，a2，...，an互素的充要条件是，存在b1，b2，...，bn∈K，使a1b1+a2b2+...+anbn=1.
28.
整环 即是主理想整环,也是欧氏整环.( )
29.
设K是一个阶大于1且有单位元的整环，证明：K是域⇔K[x]是主理想整环.
30.
证明：主理想整环K中的元素a1，a2，…，an互素的充要条件是，存在b1，b2，…，bn∈K，使 a1b1+a2b2+…+anbn=1． (1)
31.
设R是一个主理想整环，a∈R，且a≠0，证明：当a为素元素时R/是域
32.
主理想整环的子环是主理想整环.( )
33.
唯一分解整环一定主理想整环.( )
34.
整数环 是主理想整环. ( )
35.
问：主理想整环的子环是否仍是主理想整环?请证明或举出反例．
36.
设R是一个主理想整环，a∈R，且a≠0，证明：当a不是素元素时R/不是域
