在均值为零、功率谱密度为Pn(ω)=N0/2的加性高斯白噪声n(t)背景中，假设Hj下的接收信号为
Hj:x(t)=sj(t)+n(t)，0≤t≤T
其中，确知信号sj(t)的能量为 。为了实现信号检测，采用正交级数展开法时，我们是先展开系数前N项的似然比函数λ(xN)，再取N→∞的极限获得λ[X(T)]。如果我们在获得前N个系数xN=(x1，x2，…，xn)T的N维联合概率密度函数(似然函数)p(xN|Hj)后，先取N→∞的极限，求得概率密度函数p[x(t)|Hj]，再建立似然比检验,结果是一样的。请证明概率密度函数p[x(t)|Hj]可表示为

其中