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"凸子集"相关考试题目
1.
设M由所有使的f∈C[0，1]组成．证明M是C[0，1]的一个闭凸子集，它不包含最小范数的元素．
2.
设X是赋范空间，f是X上的非零有界线性泛函。证明： E={x∈X：f(x)=‖f‖) 是X的非空闭凸子集且 inf(‖x‖:x∈E}=1
3.
设E 1 和E 2 是赋范空间X的不交非空凸子集，其中E 1 是紧的，E 2 是闭的。证明：存在X'中的厂和实数α 1 ，α 2 ，使得对所有E 1 中的x 1 和E 2 中的x 2 有 Ref(x 1 )＜α 1 ＜α 2 ＜Ref(x 2 )
4.
设M为Hilbert空间X的凸子集， 且 证明{x n }是X中的收敛点列
5.
设E1和E2是赋范空间X的不交非空凸子集，其中E1是紧的，E2是闭的。证明：存在X'中的厂和实数α1，α2，使得对所有E1中的x1和E2中的x2有Ref(x1)＜α1＜α2＜Ref(x2)
6.
如果C是Hilbert空间X中的闭凸子集，那么在C上存在唯一元素取到最大模。（ ）
7.
设C为赋范线性空间X中的一个有界闭凸子集,T映C到自身,当T是()时,T在C上存在一个()
8.
设E是赋范空间X的子集，证明若spanE≠X，则E的内部E0是空的。再证明若X是R上的有限维赋范空间，E是X的凸子集且0∈E，则spanE=X当且仅当E0是非空的。
9.
设X是赋范空间，f是X上的非零有界线性泛函。证明：E={x∈X：f(x)=‖f‖)是X的非空闭凸子集且inf(‖x‖:x∈E}=1
10.
设M为Hilbert空间X的凸子集，{xn}⊆M且 证明{xn}是X中的收敛点列
11.
设E为Hilbert空间H的非空闭凸子集且x∈H。求证y∈E为x在E上的最佳逼近元当且仅当任取z∈E有 Re＜x-y，z＞≤Re＜x-y，y＞。
12.
设E为Hilbert空间H的非空闭凸子集且x∈H。求证y∈E为x在E上的最佳逼近元当且仅当任取z∈E有Re＜x-y，z＞≤Re＜x-y，y＞。
13.
设M为Hilbert空间X的凸子集，且证明{xn}是X中的收敛点列
14.
设X是赋范空间， 为X的开凸子集，E为X的线性子空间， ．证明：存在f∈X * ，当x∈E时有f(x)=0；当x∈B时有f(x)≠0．
15.
设E是赋范空间X的子集，证明若spanE≠X，则E的内部E 0 是空的。再证明若X是R上的有限维赋范空间，E是X的凸子集且0∈E，则spanE=X当且仅当E 0 是非空的。
