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"严格凸"相关考试题目
1.
证明Banach空间X是严格凸的当且仅当对任意x * ∈X * ，x * ≠θ，若z 1 ，z 2 ∈X，‖z 1 ‖=‖z 2 ‖=1使(x * ，z 1 )=(x * ，z 2 )= (x * ，x)，则必有z 1 =z 2 ．
2.
若对赋范空间X中每个非零x，存在X'中唯一的f使得f(x)=‖x‖，‖f‖=1，(1) 则称X是光滑的。证明：(a)若X是光滑的，Y是X的子空间，则Y是光滑的。(b)若X'是严格凸的，则X是光滑的。
3.
证明Banach空间X是严格凸的当且仅当对任意x*∈X*，x*≠θ，若z1，z2∈X，‖z1‖=‖z2‖=1使(x*，z1)=(x*，z2)=(x*，x)，则必有z1=z2．
4.
设1＜p＜∞，证明Lp(μ)是严格凸的，但L1(μ)，L∞(μ)不是严格凸的(除去仅由一个点组成的空间之类的平凡场合)．
5.
设X是赋范空间，x，Y∈X，‖x‖=‖y‖=1，x≠Y。证明：若X是严格凸的，则对0＜t＜1，‖tx+(1-t)y‖＜1(5)再证明若任取x，y∈X，‖x‖=‖y‖=1，且x≠y时，都存在0＜t＜1，使得(5)式成立，则X是严格凸的。
6.
ch3:判断题:20191117:严格凸 不是严格凸的.
7.
小贝的的效用函数为 ,则他拥有凸状但非严格凸的偏好。( )
8.
证明lp是严格凸的当且仅当1＜p﹤∞
9.
若x不能表示为C内某两个点的严格凸组合,则x为极点,
10.
内积空间是严格凸的的赋范线性空间。 （ ）
11.
内积空间一定是严格凸的的赋范线性空间
12.
设X是可分的赋范空间，赋有范数‖·‖证明：存在X上的等价范数，使得X在此范数下为严格凸的。
13.
ch3:判断题:20191117:严格凸 是严格凸的.
