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"依测度收敛"相关考试题目
1.
作一依测度收敛但处处不收敛和一处处收敛但不依测度收敛的函数列。
2.
设{fn（x）}在[a，b]上依测度收敛于f（x），且f（x）在[a，b]上有界，证明若g（x）在R上连续，则{g（fn（x））}在[a，b]上依测度收敛于g（f（x）），若f（x）在[a，b]上无界，结论是否仍成立？若[a，b]改为〔-∞，+∞），结论是否还成立？
3.
试证明： 设 且m(E)＜+∞，{f n (x)}是E上实值可测函数列，则f n (x)在E上依测度收敛于f(x)的充分必要条件是： ，a．e．x∈E．
4.
若mE＜∞，{fn(x)}依测度收敛于f(x)，g(x)是几乎处处有限的函数，证明：fn(x)gn(x)依测度收敛于f(x)g(x)
5.
试证明：若{fn(x)}在[a，b]上依测度收敛于f(x)，则.
6.
试证明：设f0(x)，fn(x)(n∈N)是[0，1]上非负可积函数，若fn(x)在[0，1]上依测度收敛于f0(x)，且有，则对[0，1]中任一可测集E，均有．
7.
设在可测集，fn(X)(n=1，2，…)几乎处处收敛于f(x)，且依测度收敛于g(x)，试问是否有关系式g(x)=f(x)，a.e.x∈E?
8.
设上可测函数列{fk(x)}满足fk(x)≥fk+1(x)(k=1,2，…)．若fk(x)在E上依测度收敛到0，试问fk(x)在E上是否几乎处处收敛于0?
9.
设f(x)，f 1 (x)，f 2 (x)，…，f k (x)，…是E上几乎处处有限的可测函数，且m(E)＜∞，若在{f k (x)}的任一子列{f k i (x)}中均存在几乎处处收敛于f(x)的子列{f k (x)}，试证明{f k (x)}在E上依测度收敛于f(x)．
10.
试证明：设且m(E)＜+∞，若fk(x)在E上依测度收敛于f(x)，且f(x)≠0，fk(x)≠0，a．e．x∈E(k∈N)，则1/fk(x)在E上依测度收敛于1/f(x).
11.
试证明：设m(E)＜∞，{fk(x)}在E上依测度收敛于f(x)，{gk(x)}在E上依测度收敛于g(x)，则{fk(x)·gk(x)}在E上依测度收敛于f(x)·g(x)．若m(E)=+∞，则结论不一定真．
12.
试证明：设且m(E)＜+∞，{fn(x)}是E上实值可测函数列，则fn(x)在E上依测度收敛于f(x)的充分必要条件是：，a．e．x∈E．
13.
依测度收敛的函数列不一定处处收敛，但是一个几乎处处收敛的函数列一定是依测度收敛的。
14.
几乎处处收敛的可测函数列一定是依测度收敛的。
15.
试证明： 设f n (x)在[a，b]上依测度收敛于f(x)，且g∈C(R 1 )，则g[f n (x)]在[a，b]上依测度收敛于g[f(x)]．
16.
存在依测度收敛而处处不收敛的函数列。
17.
试证明：设fn(x)是[0，1]上的递增函数(n=1，2，…)，且fn(x)在[0，1]上依测度收敛于f(x)，则在f(x)的连续点x=x0上，必有fn(x0)→f(x0)(n→∞)．
18.
试证明：设fn(x)在[a，b]上依测度收敛于f(x)，且g∈C(R1)，则g[fn(x)]在[a，b]上依测度收敛于g[f(x)]．
19.
试证明：设F(x)，fn(x)(n∈N)是R1上的可测函数，且有|fn(x)|≤F(x)，a．e．x∈R1；又对任给ε＞0，均有m({x∈R1：F(x)＞ε})＜+∞.若fn(x)在R1上几乎处处收敛于0，则fn(x)在R1上依测度收敛于0．
20.
设f n ∈L p (E)(1≤p＜∞，n∈N)，试证明下列命题等价： (i)存在f∈L p (E)，使得 ． (ii)存在f∈L p (E)，使得f n (x)在E上依测度收敛于f(x)，而且Γ={|f n (x)| p }具有积分一致绝对连续性，即对任给ε＞0，存在δ＞0，使得 (n∈N， 且m(e)＜δ)．
21.
试证明： 设{f k (x)}在 上依测度收敛于f(x)，{g k (x)}在E上依测度收敛于g(x)．则{f k (x)+g k (x)}在E上依测度收敛于f(x)+g(x)．
22.
试证明：设{fk(x)}是上的非负可测函数列，且m(E)＜∞，则{fk(x)}依测度收敛于零(函数)的充分必要条件是：．
23.
试证明：设{fn(x)}在[a，b]上依测度收敛于f(x)，且有|fn(x)|≤K(n∈N，x∈[a，b])．若g∈C([-K，K])，则.
24.
不同于点点收敛和一致收敛，依测度收敛的函数列极限不唯一。
25.
可测函数空间 中的按距离收敛本质上是依测度收敛
26.
依测度收敛可以指出函数列在哪个点上收敛，它关注点的位置如何。
27.
设函数列{fn}在E上依测度收敛于f，且fn（e）≤g（x）a.e.于E，n=1，2，...,试证f(x)≤g（x）在E上几乎处处成立
28.
不存在处处收敛而不依测度收敛的函数列
29.
设fn∈Lp(E)(1≤p＜∞，n∈N)，试证明下列命题等价：(i)存在f∈Lp(E)，使得．(ii)存在f∈Lp(E)，使得fn(x)在E上依测度收敛于f(x)，而且Γ={|fn(x)|p}具有积分一致绝对连续性，即对任给ε＞0，存在δ＞0，使得(n∈N，且m(e)＜δ)．
30.
关于依测度收敛,下列说法中不正确的是( )
31.
试问：fn(x)=(cosx)n在[0，π]上依测度收敛于0吗？又函数列在[0,1]上依测度收敛于0吗?
32.
试证明： 设 ．若{f k (x)}在E上依测度收敛于0，{g k (x)}在E上依测度收敛于0，则{f k (x)g k (x)}在E上依测度收敛于0.
33.
设{f k (x)}是 上正值可测函数列，若f k (x)在E上依测度收敛于f(x)，试证明对p＞0， 在E上依测度收敛于f p (x).
34.
设EnE，fn（x）=χE（x），其中对任意A， 证明 {fn(x)}在E上依测度收敛于f(x)的充要条件是：mE[|f-fn|＞0]=0
35.
试证明：设0≤f1(x)≤f2(x)≤…≤fk(x)≤…(x∈E)．若fk(x)在E上依测度收敛于f(x)，则．
36.
试证明： 设有数列{θ n }，{p n }： ，且令 f n (x)=|sin(nx+θ n ) p n (x∈(0，2π))， 则f n (x)在(0，2π)上依测度收敛于0．
37.
在区间 上依测度收敛于0.
38.
试证明： 设m(E)＜∞，{f k (x)}在E上依测度收敛于f(x)，{g k (x)}在E上依测度收敛于g(x)，则{f k (x)·g k (x)}在E上依测度收敛于f(x)·g(x)．若m(E)=+∞，则结论不一定真．
39.
设f(x)，f1(x)，f2(x)，…，fk(x)，…是E上几乎处处有限的可测函数，且m(E)＜∞，若在{fk(x)}的任一子列{fki(x)}中均存在几乎处处收敛于f(x)的子列{fk(x)}，试证明{fk(x)}在E上依测度收敛于f(x)．
40.
设 ,f(x) 是E 上几乎处处有限的可测函数,若 ,则在E上 依测度收敛于f(x) 与 几乎处处 收敛于f(x) 是等价的 .
41.
试问：f n (x)=(cosx) n 在[0，π]上依测度收敛于0吗？又函数列 在[0,1]上依测度收敛于0吗?
42.
试证明：设{fk(x)}在上依测度收敛于f(x)，{gk(x)}在E上依测度收敛于g(x)．则{fk(x)+gk(x)}在E上依测度收敛于f(x)+g(x)．
43.
设有定义在上的可测函数列：。若在上依测度收敛于，则在上几乎处处收敛于。
44.
试证明：设fk(x)在E上依测度收敛于f(x)．若存在F∈L(E)，使得|fk(x)|≤F(x)(x∈E)，则.
45.
试证明： 若{f n (x)}在[a，b]上依测度收敛于f(x)，则 .
46.
设序列 在可测集E上依测度收敛于 f(x), 在可测集E上依测度收敛于 g(x),则当n 趋于无穷时,下面哪种说法正确?
47.
试证明： 设有定义在 m（E)＜+∞，{fn（x)} 上的可测函数列：f 1 (x)≤f 2 (x)≤…≤f n (x)≤…．若f n (x)在E上依测度收敛于f(x)，则f n (x)在E上几乎处处收敛于f(x)．
48.
试证明：设．若{fk(x)}在E上依测度收敛于0，{gk(x)}在E上依测度收敛于0，则{fk(x)gk(x)}在E上依测度收敛于0.
49.
试证明： 设f n (x)是[0，1]上的递增函数(n=1，2，…)，且f n (x)在[0，1]上依测度收敛于f(x)，则在f(x)的连续点x=x 0 上，必有 f n (x 0 )→f(x 0 )(n→∞)．
50.
试证明：设有数列{θn}，{pn}：，且令fn(x)=|sin(nx+θn)pn(x∈(0，2π))，则fn(x)在(0，2π)上依测度收敛于0．
