（1）欲证 平面 ，根据线面平行的判定定理可知只需证 与平面 内一直线平行，连接 ，设 与 相交于点O，连接 ，根据中位线定理可知 ∥ ， ⊂平面 ， ⊄平面 ，满足定理所需条件；
（2）根据面面垂直的判定定理可知平面 ⊥平面 ，作 ，垂足为E，则 ⊥平面 ，然后求出棱长，最后根据四棱锥 ，的体积 ,即可求四棱锥 的体积.

（1）证明:连接 ,设 与 相交于点 ,连接 ,
∵ 四边形 是平行四边形,
∴点 为 的中点.                   
∵ 为 的中点，
∴ 为△ 的中位线,
∴ .                  
∵ 平面 , 平面 ,
∴ 平面 .            
(2)∵ 平面 , 平面 ,
∴ 平面 平面 ，且平面 平面 .
作 ，垂足为 ，则 平面 ，
∵ ， ，
在Rt△ 中， ， ，
∴四棱锥 的体积  
.
∴四棱锥 的体积为 .

如图，

A选项中 在平面 上的投影为 ，而 ，故 ，A正确
B选项中， ，故 ，B正确
C选项中，

（1）证明： ，
∴ ，
 AE 平面ABE,   ∴   2分
又 ，∴    3分
又∵BC∩BF=B， ，
∴    ..4分
（2）证明：依题意可知： 是 中点.

由 知 ，而 ，
∴ 是 中点，
∴ 在 中， ，    6分
又∵FG 平面BFD，AE 平面BFD，
∴      8分
（3）解： ， ∴ ，而 ，
∴ ，即    .9分
是 中点， 是 中点， ∴ 且 .
又知在 △ 中， ， ，
∴      11分
∴ .     .12分
点评：在求几何体的体积时，当所给的几何体为“规则”的柱体、椎体或台体时，直接利用公式求解．当所给几何体的体积不能直接运用公式求解时，常利用转换法、分割法、补形法等方法

(1) 利用直角三角形，先证明折前有 ,折后这个垂直关系没有改变，然后由平面 平面 的性质证明 平面 ,最后由面面垂直的判定定理即可证明平面 平面 ；（2）为方便计算，不妨设 ，先以 为原点，以 方向为 轴，以 方向为 轴，以与平面 向上的法向量同方向为 轴，建立空间直角坐标系，写给相应点的坐标，然后分别求出平面 和平面 的一个法向量，接着计算出这两个法向量夹角的余弦值，根据二面角的图形与计算出的余弦值，确定二面角的大小即可.
(1) 证明:由题可知：折前
，这个垂直关系，折后没有改变
故折后有

（2）不妨设 ，以 为原点，以 方向为 轴，以 方向为 轴，以与平面 向上的法向量同方向为 轴，建立空间直角坐标系            7分

则

设平面 和平面 的法向量分别为 ，
由 及 可得到 即 ，不妨取
又由 及 可得到 即
不妨取                        9分
              11分
综上所述，二面角 大小为               12分.

解：（1）在线段 上存在点 ，使 ．              

由等腰直角 可知，对折后， ， ．
在 中， ，
∴ ， ．               
过 作 的垂线，与 的交于点 ，点 就是   
满足条件的唯一点．理由如下：
连结 ，∵ ，∴ 平面 ，
∴ ，即在线段 上存在点 ，使 ．         ………………4分         
在 中， ， ，得 ．……6分
（2）对折后，作 于 ，连结 ，
∵ ， ，
∴ 平面 ，
∴平面 平面 ．                                 
∵ ，且平面 平面 ，
∴ 平面 ．
而 ，所以 平面 ，
即 为二面角 的平面角．                  ……………………9分
在 中， ， ，
得 ，
在 中， ， ，得
．              
在 中， ， ，                                         
所以二面角 的大小为 ．           ……………………12分 

（1）∵ AB⊥平面 BCD，∴ AB⊥ BC， AB⊥ BD．
∵△ BCD是正三角形，且 AB＝ BC＝ a，∴ AD＝ AC＝ ．
设 G为 CD的中点，则 CG＝ ， AG＝ ．
∴ ， ， ．
三棱锥 D－ ABC的表面积为 ．
（2）取 AC的中点 H，∵ AB＝ BC，∴ BH⊥ AC．
∵ AF＝3 FC，∴ F为 CH的中点．
∵ E为 BC的中点，∴ EF∥ BH．则 EF⊥ AC．
∵△ BCD是正三角形，∴ DE⊥ BC．
∵ AB⊥平面 BCD，∴ AB⊥ DE．
∵ AB∩ BC＝ B，∴ DE⊥平面 ABC．∴ DE⊥ AC．
∵ DE∩ EF＝ E，∴ AC⊥平面 DEF．
（3）存在这样的点 N，当 CN＝ 时， MN∥平面 DEF．
连 CM，设 CM∩ DE＝ O，连 OF．由条件知， O为△ BCD的重心， CO＝ CM．
∴当 CF＝ CN时， MN∥ OF．∴ CN＝
点评：题考查棱锥的结构特征，证明线面垂直，线面平行，考查逻辑思维能力，是中档题．

(1)记 c∩ b＝ A， P为直线 b上异于点 A的任意一点，过 P作 PO⊥ π，垂足为 O，则 O∈ c.
因为 PO⊥ π， a⊂ π，
所以直线 PO⊥ a.
又 a⊥ b， b⊂平面 PAO， PO∩ b＝ P，
所以 a⊥平面 PAO.
又 c⊂平面 PAO，
所以 a⊥ c.
(2)逆命题为： a是平面 π内的一条直线， b是 π外的一条直线( b不垂直于 π)， c是直线 b在 π上的投影，若 a⊥ c，则 a⊥ b.逆命题为真命题．

分别写出其逆命题再判断，A、由面面平行的性质定理判断．B、也可能平行C、由三垂线定理判断．D、由线面平行的判定定理判断．
A、其逆命题是：当c⊥α时，或α∥β，则c⊥β，由面面平行的性质定理知正确．
B、其逆命题是：当b⊂α，若α⊥β，则b⊥β，也可能平行，相交．不正确．
C、其逆命题是当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若a⊥b，则b⊥c，由三垂线定理知正确．
D、其逆命题是当b⊂α，且c⊄α时，若b∥c，则c∥α，由线面平行的判定定理知正确．
故选B
点评：解决该试题的关键是熟练运用线面平行的判定定理和性质定理，和线面垂直的判定定理和性质定理的运用。