平面向量基本定理及坐标表示题库 - 考试题库

【简答题】

[1/1277]如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OD=3，点P为△BCD内（含边界）的动点，设OP=α OC+β OD（α，β∈R），则α+β的最大值等于__...

参考答案：

以O为原点，以OD所在直线为x轴建立直角坐标系，
设点P（x，y），∵

OP

=α

OC

+β

OD

，则（x，y）=α（0，1）+β（3，0）=（3β，α）．
所以，x=3β，y=α，α+β=y+

x

3

．
由于点P在△BCD内（包含边界），目标函数为 α+β=y+

x

3

，如图（2）所示，
当点P为点B（1，1）时，α+β=y+

x

3

取得最大值，其最大值为1+

1

3

=

4

3

，
故答案为：

4

3

．
图（1）

，图（2）

参考解析：

无

【简答题】

[2/1277]设向量【图片】，向量【图片】垂直于向量【图片】，向量【图片】平行于【图片】，试求【图片】的坐标．

参考答案：

参考解析：

无

【简答题】

[3/1277]将函数【图片】的图像按平移向量【图片】平移后得到函数【图片】的图像，则该平移向量【图片】=______。

参考答案：

参考解析：

略

【简答题】

[4/1277]已知向量【图片】= (－3 ,2 ) , 【图片】="(x," －4) , 若【图片】// 【图片】，则x=（ ...

参考答案：

C.

参考解析：

因为向量

= (－3 ,2 ) ,

="(x," －4) , 且

//

，所以

，x=6，故选C。
点评：简单题，两向量平行，对应坐标成比例。

【简答题】

[5/1277]设向量【图片】，【图片】，则下列结论中正确的是（） A．【图片】B．【图片】C．【图片】与【图片】垂直D．【图片...

参考答案：

C

参考解析：

∵

，

，∴

，

，∴

与

垂直，故选C
点评：熟练掌握向量的坐标运算及数量积的定义、变形是解决此类问题的关键，属基础题

【简答题】

[6/1277]已知：A、B、C是【图片】的内角，【图片】分别是其对边长，向量【图片】，【图片】，【图片】.求角A的大小；

参考答案：

参考解析：

(Ⅰ)

=

∵

.

【简答题】

[7/1277]已知向量m=(2x-2，2- 3y)，n=( 3y+2，x+1)，且m∥n， OM=(x，y)（O为坐标原点）．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）是否...

参考答案：

（1）∵向量

m

=(2x-2，2-

3

y)，

n

=(

3

y+2，x+1) ，且

m

∥

n

∴（2x-2）（x+1）-（2-

3

y ）(

3

y+2)=0
化简可得，点M的轨迹C的方程为

x2

3

+

y2

2

=1 ；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意知l的斜率一定不为0，故不妨设l：x=my+1，代入椭圆方程，消元可得（2m²+3）y²+4my-4=0
∴y₁+y₂=-

4m

2m2+3

，y₁y₂=-

4

2m2+3

假设存在点P，使四边形OAPB为平行四边形，其充要条件为

OP

=

OA

+

OB

∴P（x₁+x₂，y₁+y₂）
∴

(x1+x2)2

3

+

(y1+y2)2

2

=1
∴2

x

21

+3

y

21

+2

x

22

+3

y

22

+4x₁x₂+6y₁y₂=6
∵A，B在椭圆上，∴2

x

21

+3

y

21

=6，2

x

22

+3

y

22

，=6
∴2x₁x₂+3y₁y₂=-3
∵y₁+y₂=-

4m

2m2+3

，y₁y₂=-

4

2m2+3

∴m=±

2

当m=

2

时，y₁=-

2

，y₂=

2

，∴x₁=0，x₂=

3

2

∴

OA

=(0，-

2

)，

OB

=(

3

2

，

2

)
∴cos∠AOB=

OA

•

OB

|

OA

||

OB

|

=-

2

11

∴sin∠AOB=

3

11

∴平行四边形OAPB的面积为|

OA

||

OB

|sin∠AOB=

3

2

当m=-

2

时，同理可得平行四边形OAPB的面积为

3

2

故存在存在点P，使四边形OAPB为平行四边形．

参考解析：

m

【简答题】

[8/1277]已知a=（2，-1，3），b=（-1，4，-2），c=（7，7，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ等于（　　） A．3B．5C．7D．9

参考答案：

∵

a

、

b

、

c

三向量共面，
∴

c

=x

a

+y

b

，x，y∈R，
∴（7，7，λ）=（2x，-x，+3x）+（-y，4y，-2y）=（2x-y，-x+4y，3x-2y），
∴2x-y=7，-x+4y=7，3x-2y=λ，
解得 λ=9；
故选D．

参考解析：

a

【简答题】

[9/1277]已知向量【图片】,则与向量【图片】平行的一个单位向量是________．

参考答案：

参考解析：

设与向量

平行的单位向量是（x,y）,则y=3x且

，解得

，∴与向量

平行的一个单位向量是

点评：熟练掌握向量的坐标运算及单位向量的定义是解决此类问题的关键

【简答题】

[10/1277]（本小题满分12分）如图所示，【图片】中，【图片】，【图片】，【图片】，【图片】(1)试用向量【图片】，【图片】来表示【图片】． (2...

参考答案：

(1)

(2)

.

参考解析：

(1)直接利用向量加法或减法的三角形法则表示即可.
（2）因为D、O、N三点共线，所以

,
又因为A,O,M三点共线，所以

所以

,所以

.
点评：根据平面向量的基本定理，平面内的任一向量都要可以用不共线的非零向量来表示，因而

都可以用向量

，

表示，在表示要用到向量的加减法计算法则。
证明线段比值时如果它们是共线或平行时，可以利用向量共线定理解决。