一元一次方程及其应用题库 - 考试题库

【简答题】

[1/134]设方程x2-mx+1=0两根为α，β，且0＜α＜1，1＜β＜2，则实数m的取值范围是______．

参考答案：

方程x²-mx+1=0对应的二次函数f（x）=x²-mx+1，
方程x²-mx+1=0两根根为α，β，且0＜α＜1，1＜β＜2，
∴

f(0)＞0

f(1)＜0

f(2)＞0

解得2＜m＜

5

2

．
故答案为：2＜m＜

5

2

参考解析：

f(0)＞0

f(1)＜0

f(2)＞0

【简答题】

[2/134]已知2b-2ca=1，求证：方程ax2+bx+c=0有实数根．

参考答案：

证明：由

2

b-2c

a

=1，∴b=

a+2c

2

．
∴b²=（

a

2

+

2

c）²=

a2

2

+2ac+2c²=4ac+（

a

2

-

2

c）²≥4ac．
∴方程ax²+bx+c=0有实数根．

参考解析：

2

b-2ca

【简答题】

[3/134]如果二次方程x2-px-4q=0（p，q∈N*）的正根小于4，那么这样的二次方程的个数为______．

参考答案：

二次方程x²-px-4q=0（p，q∈N^*）的正根小于4，那么

p+

p2+16q

2

＜ 4
可得p+q＜4，∵p，q∈N^*∴（p，q）为（1，1）；（1，2）；（2，1）三种组合，
这样的二次方程的个数为3
故答案为：3

参考解析：

p+

p2+16q

2

【简答题】

[4/134]国家规定个人稿费的纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳...

参考答案：

3800元

参考解析：

无

【简答题】

[5/134]设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜1a．（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f...

参考答案：

证明：（Ⅰ）令F（x）=f（x）-x．因为x₁，x₂是方程f（x）-x=0的根，所以
F（x）=a（x-x₁）（x-x₂）．
当x∈（0，x₁）时，由于x₁＜x₂，得（x-x₁）（x-x₂）＞0，又a＞0，得
F（x）=a（x-x₁）（x-x₂）＞0，
即x＜f（x）．
x₁-f（x）
=x₁-[x+F（x）]
=x₁-x+a（x₁-x）（x-x₂）
=（x₁-x）[1+a（x-x₂）]
因为0＜x＜x1＜x2＜

1

a

所以x₁-x＞0，1+a（x-x₂）=1+ax-ax₂＞1-ax₂＞0．
得x₁-f（x）＞0．
由此得f（x）＜x₁．
（Ⅱ）依题意知x0=-

b

2a

因为x₁，x₂是方程f（x）-x=0的根，即x₁，x₂是方程ax²+（b-1）x+c=0的根．
∴x1+x2=-

b-1

a

，x0=-

b

2a

=

a(x1+x2)-1

2a

=

ax1+ax2-1

2a

因为ax₂＜1，所以x0＜

ax1

2a

=

x1

2

．

参考解析：

1a

【简答题】

[6/134]若n＞0，关于x的方程x2-(m-2n)x+ 14mn=0有两个相等的正实数根，求mn的值．

参考答案：

由题意可得△=（m-2n）²-mn=0，且m-2n＞0，

mn

4

＞0．
即 m²+n²-5mn=0，且

m

n

＞2 ．
即(

m

n

)2-5

m

n

+4=0，且

m

n

＞2 ．
解得

m

n

= 4 ，或

m

n

= 1 （舍去）．
总上可得

m

n

= 4 ．

参考解析：

mn4

【简答题】

[7/134]求关于x的二次方程x2-mx+m2-4=0有两个不相等的正实根的充要条件．

参考答案：

∵x的二次方程x²-mx+m²-4=0有两个不相等的正实根
∴

△＞0

x1+x2＞0

x1•x2＞0

即m²-4（m²-4）＞0，m＞0，m²-4＞0
得

-

4

3

＜m＜

4

3

m＞0

m＞0或m＜-2

∴2＜m＜

4

3

即关于x的二次方程x²-mx+m²-4=0有两个不相等的正实根的充要条件是2＜m＜

4

3

参考解析：

△＞0

x1+x2＞0

x1•x2＞0

【简答题】

[8/134]某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了300元，回来后发现有12个是坏的，不能将它们出售，余下的椰子按高出成本价1元/个售出，售完后共赚78...

参考答案：

D

参考解析：

无

【简答题】

[9/134]方程x2+（m-2）x+5-m=0的两根分布在区间（2，3）和（3，4）之间，则实数m的取值范围为______．

参考答案：

构造函数f（x）=x²+（m-2）x+5-m
∵关于x的方程x²+（m-2）x+5-m=0的两根分布在区间（2，3）和（3，4）之间，
∴

f(2)＞0
f(3)＜0

f(4)＞0

即

22+2(m-2)+5-m＞0
32+3(m-2)+5-m＜0

42+4(m-2)+5-m＞0

，
∴

m+5＞0
2m+8＜0

3m+13＞0

，
解得-

13

3

＜m＜-4
故实数m的取值范围为 (-

13

3

，-4)．
故答案为：(-

13

3

，-4)

参考解析：

f(2)＞0
f(3)＜0

f(4)＞0

【简答题】

[10/134]若tanα，tanβ是方程6x2-5x+1=0的两个根，且α+β∈(- π2， π2)，则α+β=______．

参考答案：

由题意，tanα+tanβ=

5

6

，tanα•tanβ=-

1

6

，∴tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=1
∵α+β∈(-

π

2

，

π

2

)，∴α+β=

π

4

故答案为

π

4

参考解析：

56