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数学归纳法证明不等式题库
题数
335
考试分类
高中数学>数学归纳法证明不等式
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简介
高中数学-数学归纳法证明不等式
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【简答题】
[1/335]若不等式 【图片】对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并用数学归纳法证明你的结论。
参考答案：
解：当n=1时， ，即  ，即a<26，又a∈N*， ∴取a=25， 下面用数学归纳法证明：  ，（1）当n=1时，已证。 （2）假设当n=k时，  成立，则当n=k+1时，有     ，∵  ，∴  成立；由（1）、（2）可知，对一切n∈N*，都有不等式  成立。 ∴a的最大值为25。 |
参考解析：
无
【简答题】
[2/335]用数学归纳法证明： 【图片】．
参考答案：
|
证明：（1）当
 时，左边
 ，右边
 左边，∴等式成立．
（2）设当  时，等式成立，
即  ． 则当
 时，
左边 
∴ 时，等式成立．
由（1）、（2）可知，原等式对于任意  成立．
|
参考解析：
首先证明当n=1时等式成立，再假设n=k时等式成立，得到等式
，
下面证明当n=k+1时等式左边
，
根据前面的假设化简即可得到结果，最后得到结论．
，
下面证明当n=k+1时等式左边
，
根据前面的假设化简即可得到结果，最后得到结论．
【简答题】
[3/335]用数学归纳法证明“n 3＋(n＋1) 3＋(n＋2) 3(n∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( ) A．(k＋3...
参考答案：
|
A
|
参考解析：
假设当n＝k时，原式能被9整除，
即k 3＋(k＋1) 3＋(k＋2) 3能被9整除．
当n＝k＋1时，(k＋1) 3＋(k＋2) 3＋(k＋3) 3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3) 3展开，让其出现k 3即可．
即k 3＋(k＋1) 3＋(k＋2) 3能被9整除．
当n＝k＋1时，(k＋1) 3＋(k＋2) 3＋(k＋3) 3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3) 3展开，让其出现k 3即可．
【简答题】
[4/335]用数学归纳法证明不等式： 【图片】＞1(n∈N *且n＞1)．
参考答案：
|
见解析
|
参考解析：
①当n＝2时，左边＝
＞1，
∴n＝2时不等式成立；
②假设当n＝k(k≥2)时不等式成立，即
＞1，
那么当n＝k＋1时，
左边＝
＝
＞1＋(2k＋1)·
＞1.
综上，对于任意n∈N *，n>1不等式均成立，原命题得证．
＞1，
∴n＝2时不等式成立；
②假设当n＝k(k≥2)时不等式成立，即
＞1，
那么当n＝k＋1时，
左边＝
＝
＞1＋(2k＋1)·
＞1.
综上，对于任意n∈N *，n>1不等式均成立，原命题得证．
【简答题】
[5/335]（本小题10分） 证明： 【图片】，其中 【图片】.
参考答案：
|
略
|
参考解析：
略
【简答题】
[6/335]是否存在常数a、b、c使等式1•（n2-12）+2（n2-22）+…+n（n2-n2）=an4+bn2+c对一切正整数n成立？证明你的结论．
参考答案：
分别用n=1，2，3代入解方程组
下面用数学归纳法证明． （1）当n=1时，由上可知等式成立； （2）假设当n=k时，等式成立， 则当n=k+1时，左边=1•[（k+1）2-12]+2[（k+1）2-22]+…+k[（k+1）2-k2]+（k+1）[（k+1）2-（k+1）2] =1•（k2-12）+2（k2-22）++k（k2-k2）+1•（2k+1）+2（2k+1）+…+k（2k+1） =
=
∴当n=k+1时，等式成立． 由（1）（2）得等式对一切的n∈N*均成立． |
参考解析：
| a+b+c=0 |
| 16a+4b+c=3 |
| 81a+9b+c=18 |
【简答题】
[7/335]各项均为正数的数列 【图片】对一切 【图片】均满足 【图片】．证明： （1） 【图片】； （2） 【图片】．
参考答案：
|
（1）详见解析，（2）详见解析.
|
参考解析：
（1）作差证明不等式，因为
，
，所以
，且
．
因此
．即
.（2）本题证明：
用数学归纳法，而证明
用反证法. ① 当
时，由题设
可知
成立；② 假设
时，
，
当
时，由（1）得，
．由①，②可得，
．假设存在自然数
，使得
，则一定存在自然数
，使得
．因为
，
，
， ，
，与题设
矛盾，所以，
．若
，则
，根据上述证明可知存在矛盾．
【证明】（1）因为
，
，与题设
矛盾，所以，
．若
，则
，根据上述证明可知存在矛盾．
所以
，
所以
，且
．
因为
．
所以
，
所以
，即
． 4分
（注：用反证法证明参照给分）
（2）下面用数学归纳法证明：
．
① 当
时，由题设
可知结论成立；
② 假设
时，
，
当
时，由（1）得，
．
由①，②可得，
． 7分
下面先证明
．
假设存在自然数
，使得
，则一定存在自然数
，使得
．
因为
，
，
， ，
，
与题设
矛盾，所以，
．
若
，则
，根据上述证明可知存在矛盾．
所以
成立． 10分
【简答题】
[8/335]用数学归纳法证明不等式 【图片】的过程中， 由 【图片】递推到 【图片】时的不等式左边（ ） A．增加了...
参考答案：
|
C
|
参考解析：
解：因为当n=k时，左边为
当n=k+1时，则左边为
可见左边的变化为选C
当n=k+1时，则左边为
可见左边的变化为选C
【简答题】
[9/335]已知 【图片】， 【图片】是函数 【图片】的两个零点，其中常数 【图片】， 【图片】，设 【图片】． （Ⅰ）用 【图片】， 【图片】表示 【图片】， ...
参考答案：
|
（Ⅰ）
 （Ⅱ）详见解析，（Ⅲ）详见解析.
|
参考解析：
（Ⅰ）由题意得：
，
．因为
，所以
．
.对抽象的求和符号具体化处理,是解答本题的关键.（Ⅱ）
而
，（Ⅲ）用数学归纳法证明有关自然数的命题. （1）当
时，由（Ⅰ）问知
是整数，结论成立．（2）假设当
（
）时结论成立，即
都是整数，由（Ⅱ）问知
．即
时，结论也成立．
解：（Ⅰ）由
，
．
因为
，所以
．
． 3分
（Ⅱ）由
，得
．
即
，同理，
．
所以
．
所以
． 8分
（Ⅲ）用数学归纳法证明．
（1）当
时，由（Ⅰ）问知
是整数，结论成立．
（2）假设当
（
）时结论成立，即
都是整数．
由
，得
．
即
．
所以
，
．
所以
．
即
．
由
都是整数，且
，
，所以
也是整数．
即
时，结论也成立．
由（1）（2）可知，对于一切
，
的值都是整数． 13分
【简答题】
[10/335]已知f(n)＝1＋ 【图片】n∈N )，g(n)＝2( 【图片】－1)(n∈N )． (1)当n＝1，2，3时，分别比较f(n)与g(n)的大小(...
参考答案：
|
(1)当n＝1时，f(1)>g(1)；当n＝2时，f(2)>g(2)；当n＝3时，f(3)>g(3)．(2)f(n)>g(n)(n∈N
*)，
|
参考解析：
(1)当n＝1时，f(1)>g(1)；当n＝2时，f(2)>g(2)；当n＝3时，f(3)>g(3)．
(2)猜想：f(n)>g(n)(n∈N *)，即1＋
>2(
－1)(n∈N
*)．
下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝2(
－1)，f(1)>g(1)．
②假设当n＝k时，猜想成立，即1＋
>2(
－1)．
则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝1＋＋
>2(
－1)＋
＝2
＋
－2，而g(k＋1)＝2(
－1)＝2
－2，
下面转化为证明：
.
只要证：2(k＋1)＋1＝2k＋3>2
，
需证：(2k＋3) 2>4(k＋2)(k＋1)，即证：4k 2＋12k＋9>4k 2＋12k＋8，此式显然成立．
所以，当n＝k＋1时猜想也成立．综上可知：对n∈N *，猜想都成立，
即1＋
(n∈N
*)成立．
(2)猜想：f(n)>g(n)(n∈N *)，即1＋
>2(
－1)(n∈N
*)．
下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝2(
－1)，f(1)>g(1)．
②假设当n＝k时，猜想成立，即1＋
>2(
－1)．
则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝1＋
＋
>2(
－1)＋
＝2
＋
－2，而g(k＋1)＝2(
－1)＝2
－2，
下面转化为证明：
.
只要证：2(k＋1)＋1＝2k＋3>2
，
需证：(2k＋3) 2>4(k＋2)(k＋1)，即证：4k 2＋12k＋9>4k 2＋12k＋8，此式显然成立．
所以，当n＝k＋1时猜想也成立．综上可知：对n∈N *，猜想都成立，
即1＋
(n∈N
*)成立．