（1）过点D作DE ⊥ A ₁ C 于E点，取AC的中点F，连BF ﹑EF，先证直线DE⊥面AA ₁C ₁C，再证BF⊥面AA ₁C ₁C，得D，E，F，B共面，再证DB∥EF ，从而有EF∥AA ₁，易得所证结论；（2）法1：建立空间直角坐标系，找出所需点的坐标，分别设出面DA ₁C和平面AA ₁DB的法向量，并列方程计算出来，再利用向量的数量积计算两向量的夹角的余弦值，便可得 得值；法2：延长A ₁ D与直线AB相交于G，易知CB⊥面AA ₁B ₁B，过B作BH⊥A ₁ G于点H，连CH，证明∠CHB为二面角A －A ₁D － C的平面角，在 CHB中，根据条件计算 的表达式，可得结论.
（1）过点D作DE ⊥ A ₁ C 于E点，取AC的中点F，连BF ﹑EF.
∵面DA ₁ C⊥面AA ₁C ₁C且相交于A ₁ C，面DA ₁ C内的直线DE ⊥ A ₁ C，∴直线DE⊥面AA ₁C ₁C ，3分
又∵面BA C⊥面AA ₁C ₁C且相交于AC，易知BF⊥AC，∴BF⊥面AA ₁C ₁C
由此知：DE∥BF ，从而有D，E，F，B共面，又易知BB ₁∥面AA ₁C ₁C，故有DB∥EF ，从而有EF∥AA ₁，
又点F是AC的中点，所以DB ＝ EF ＝  AA ₁＝  BB ₁，所以D点为棱BB ₁的中点；  6分

（2）解法1：建立如图所示的直角坐标系，设AA ₁＝ 2b ，AB＝BC ＝  ，则D（0,0,b）,  A ₁ (a,0,2b),  C (0,a,0)，                                                  7分
所以，  ,                          8分
设面DA ₁C的法向量为 则  可取 ,
又可取平面AA ₁DB的法向量 ,
cos〈 〉 ,          10分
据题意有： ，                               12分
解得： ＝  .                                      13分

解法2：延长A ₁ D与直线AB相交于G，易知CB⊥面AA ₁B ₁B，
过B作BH⊥A ₁ G于点H，连CH，由三垂线定理知：A ₁ G⊥CH，
由此知∠CHB为二面角A －A ₁D － C的平面角；                     9分
设AA ₁＝ 2b ，AB＝BC ＝ ；在直角三角形A ₁A G中，易知AB ＝ BG.
在 DBG中，BH ＝  ＝ ，                    10分
在 CHB中，tan∠CHB ＝  ＝ ，
据题意有：  ＝ tan60 ⁰ ＝  ，
解得： 所以 ＝  .                           13分

（1）利用三角形的中位线定理证明；（2）证明 平面 ，再证 ；（3）用向量法求解.
（1)连结 交 于 ，连结 ,因为四边形 为正方形，所以 为 的中点，又点 为 的中点，在 中，有中位线定理有 // ，而 平面 ， 平面 ，
所以， //平面 .
（2）因为正方形 与矩形 所在平面互相垂直，所以 ， ，
而 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
（3）存在满足条件的 .
依题意，以 为坐标原点， 、 、 分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，因为 ，则 ， ，， ， ，所 ，
易知 为平面 的法向量，设 ，所以 平面 的法向量为 ，所以 ，即 ，所以 ，取 ，
则 ，又二面角 的大小为 ，
所以 ，解得 .
故在线段 上是存在点 ，使二面角 的大小为 ，且 .

可以以B为原点，以BA，BC，BD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求出直线BC的方向向量和平面ACD的法向量，然后运用向量的线面角公式即可.

略

（I） 是 AC的中点，且 AC=AB=BC=2 ， ，于是，点 B的坐标是 ；又 平面 轴，且平面 与二面角 两个面的交线分别是 、 ， 就是二面角 的平面角，于是 且 ，又 ， ， ，
所以，点 D的坐标是 即 ；
点 P的坐标是 即 ；
（II） ， ， ，  
 
所以，异面直线 AB与 PC所成的角是 ；

如图建立空间直角坐标系，
＝（1，1，0）， ＝（0， ，1）， ＝（1，0，1）                                          

设平面D BEF的法向量为 ＝（ x， y，z），则有：
       即     x＋ y＝0       
               y＋z＝0
令 x＝1,  y=－1,   z= , 取 ＝（1，－1， ），则 A ₁到平面D BEF的距离

(1)先根据题意找到BC中点O，证明 ， 平面 ，从而以O为原点构造出空间直角坐标系.在写出平面 中相关向量坐标以及 的坐标，由向量的数量积为0证明线线垂直，从而得到 ⊥平面 ；（2）先求出平面 的法向量，又由上问可知平面 的法向量即 ，再通过向量的夹角公式得到这两个法向量的夹角余弦值，经观察可知即为二面角 余弦值.从而得到本题的解.
（1）取BC中点O,连AO,
∵ 为正三角形, ∴ ,
∵在正三棱柱 中,平面ABC 平面 ,∴ 平面 ,
取 中点为 ,以O为原点, , , 的方向为 , 轴的正方向,建立空间直角坐标系,

则 .
∴ ,
∵ , .
∴ , ,∴ 面    
(2)设平面 的法向量为 , .
,∴ ,∴ , ,令 ,得 为平面 的一个法向量,由(1)知 面 ,
∴ 为平面 的法向量, ,
经检验易知二面角 的余弦值为 .

(1) 设 =a, =b, =c,正四面体的棱长为1,
则 = (a+b+c), = (b+c-5a),
= (a+c-5b), = (a+b-5c)
∴ · = （b+c-5a）·（a+c-5b）
= （18a·b-9|a| ²）
= （18×1×1·cos60°-9）=0.
∴ ⊥ ，∴AO⊥BO，
同理 ⊥ ，BO⊥CO，
∴AO、BO、CO两两垂直.
（2）  = + =- （a+b+c）+
= (-2a-2b+c).
∴| |= = ，
| |= = ，
· = （-2a-2b+c）· （b+c-5a）= ，
∴cos〈 , 〉= = ，
∵〈 , 〉∈(0, ),∴〈 , 〉=45°.

(1)证明:连接 DC ₁，因为 ABC-A ₁ B ₁ C ₁为正三棱柱，所以△ ABC为正三角形，又因为 D为 AC的中点，所以 BD⊥ AC，又平面 ABC⊥平面 ACC ₁ A ₁，所以 BD⊥平面 ACC ₁ A ₁，所以 BD⊥ DE.因为 AE∶ EA ₁＝1∶2， AB＝2， AA ₁＝ ，所以 AE＝ ， AD＝1，所以在Rt△ ADE中，∠ ADE＝30°，在Rt△ DCC ₁中，∠ C ₁ DC＝60°，所以∠ EDC ₁＝90°，即 ED⊥ DC ₁，又 BD∩ DC ₁＝ D，所以 ED⊥平面 BDC ₁， BC ₁⊂面 BDC ₁，所以 ED⊥ BC ₁.
(2)解　假设存在点 E满足条件，设 AE＝ h.
取 A ₁ C ₁的中点 D ₁，连接 DD ₁，则 DD ₁⊥平面 ABC，所以 DD ₁⊥ AD， DD ₁⊥ BD，分别以 DA， DB， DD ₁所在直线为 x， y， z轴建立空间直角坐标系 D-xyz，则 A(1,0,0)， B(0， ，0)， E(1,0， h)，所以 ＝(0， ，0)， ＝(1,0， h)， ＝(－1， ，0)， ＝(0,0， h)，设平面 DBE的一个法向量为 n ₁＝( x ₁， y ₁， z ₁)，
则 ， 令 z ₁＝1，得 n ₁＝(－ h,0,1)，同理，平面 ABE的一个法向量为 n ₂＝( x ₂， y ₂， z ₂)，则 ， ∴ n ₂＝( ，1,0)．
∴cos〈 n ₁， n ₂〉＝ ＝cos 60°＝ .解得 h＝ < ，故存在点 E，当 AE＝ 时，二面角 D-BE-A等于60°.