抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）题库 - 考试题库

【简答题】

[1/867]两个顶点在抛物线y2=2px（p＞0）上，另一个顶点是此抛物线焦点，这样的正三角形有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

参考答案：

C

参考解析：

无

【简答题】

[2/867]抛物线y2=2x上的两点A、B到焦点F的距离之和是5，则线段AB的中点M的横坐标是______．

参考答案：

∵F是抛物线y²=2x的焦点
F（

1

2

，0 ）准线方程x=-

1

2

，
设A（x₁，y₁） B（x₂，y₂）
∴|AF|+|BF|=x1+

1

2

+x2+

1

2

=5，
解得x₁+x₂=4
∴线段AB的中点横坐标为：2．
故答案为：2．

参考解析：

12

【简答题】

[3/867]已知A，B是抛物线y2=-7x上的两点，且OA⊥OB（Ⅰ）求证：直线AB过定点，并求出定点坐标；（Ⅱ）求△AOB的面积的最小值．

参考答案：

（1）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

y12=-7x1

y22=-7x2

，
∵OA⊥OB，∴

OA

•

OB

=0 ，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴（-

y12

7

）•（-

y22

7

）+y₁y₂=0，
∴y₁y₂=-49，x₁x₂=49，
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

y1-y2

y12

-7

-

y22

-7

=

-7

y1+y2

，
∴AB的方程为y-y₁=

-7

y1+y2

(x-x1) ，
∴y=

-7

y1+y2

x-

49

y1+y2

，
∴y=

-7

y1+y2

（x+7），
∴直线AB过点（-7，0）…（6分）
（2）∵直线AB过点（-7，0），OA⊥OB，
∴当直线AB过（-7，0）且垂直于x轴时，△AOB的面积的取最小值．
此时A（-7，7），B（-7，-7），
∴|OA|=|OB|=7

2

，
∴△AOB的面积的最小值S=

1

2

×7

2

×7

2

=49．…（12分）

参考解析：

y12=-7x1

y22=-7x2

【简答题】

[4/867]AB为过抛物线焦点F的弦，P为AB中点，A、B、P在准线l上射影分别为M、N、Q，则下列命题：①以AB为直径作圆则此圆与准线l相交；②MF⊥NF；③A...

参考答案：

由题意，AP+BP=AM+BN
∴PQ=

1

2

AB，∴以AB为直径作圆则此圆与准线l相切，故①错，③对；
由AP=AF可知∠AMF=∠AFM，同理∠BFN=∠BNF，利用AM∥BN，可得MF⊥NF，从而②④正确；
对于 ⑤，不妨设抛物线方程为y²=2px，直线AB：x=ky+

p

2

联立可得y²-2kpy-p²=0
设A(

y

21

2p

，y1)，B(

y

22

2p

，y2)，则N(-

p

2

，y2)
∴kOA=

2p

y1

，kON=

-2y2

p

∵y₁y₂=-p²，∴k_OA=k_ON，故⑤正确
故答案为②③④⑤

参考解析：

12

【简答题】

[5/867]已知点A（0，2）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物线与点B，过B做l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p=（ ...

参考答案：

参考解析：

无

【简答题】

[6/867]如果抛物线y2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（　　） A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D．（-1，0）

参考答案：

A

参考解析：

无

【简答题】

[7/867]抛物线y= 【图片】x2的焦点坐标是（　　） A．( 【图片】，0) B．（1，0） C．（0，2） D．（0，1）

参考答案：

D

参考解析：

无

【简答题】

[8/867]过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为（3，2），则p的值为（　　） A．12B．1C...

参考答案：

∵抛物线y²=2px的焦点为F（

p

2

，0）
∴过焦点且倾斜角为45°的直线l方程为y=x-

p

2

，
与抛物线方程消去x，得

1

2p

y²-y-

p

2

=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得y₁+y₂=2p=2×2=4，解之得p=2
故选：C

参考解析：

p2

【简答题】

[9/867]已知抛物线y2=4x上一点到焦点的距离为5，这点的坐标为______．

参考答案：

∵抛物线方程为y²=4x，
∴焦点为F（1，0），准线为l：x=-1
设所求点坐标为P（x，y）
作PQ⊥l于Q
根据抛物线定义可知P到准线的距离等于P、Q的距离
即x+1=5，解之得x=4，
代入抛物线方程求得y=±4
故点P坐标为：（4，±4）
故答案为：（4，4）或（4，-4）．

参考解析：

无

【简答题】

[10/867]已知抛物线y2=4x与直线y=2x+b相交于A，B两点，|AB|=35．（1）求b的值；（2）设P 是x轴上的一点，当△PAB的面积为39时...

参考答案：

（1）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由抛物线y²=4x与直线y=2x+b，可得4x²+4（b-1）x+b²=0，
△=16（b-1）²-16b²＞0，∴b＜

1

2

．
又由韦达定理有x₁+x₂=1-b，x₁x₂=

b2

4

，
∴|AB|=

1+4

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

5(1-2b)

，
即

5(1-2b)

=3

5

，∴b=-4．
（2）设x轴上点P（x，0），P到AB的距离为d，则
d=

|2x-0-4|

5

=

|2x-4|

5

，
∴S_△PBC=

1

2

•3

5

•

|2x-4|

5

=39，
∴|2x-4|=26，
∴x=15或x=-11，
∴P（15，0）或（-11，0）．

参考解析：

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