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抛物线的性质(顶点、范围、对称性、离心率)题库
抛物线的性质(顶点、范围、对称性、离心率)题库 - 刷刷题
题数
867
考试分类
高中数学>抛物线的性质(顶点、范围、对称性、离心率)
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章节目录
简介
高中数学-抛物线的性质(顶点、范围、对称性、离心率)
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题目预览
【简答题】
[1/867]两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点,这样的正三角形有(  ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
参考答案:
C
参考解析:
【简答题】
[2/867]抛物线y2=2x上的两点A、B到焦点F的距离之和是5,则线段AB的中点M的横坐标是______.
参考答案:
∵F是抛物线y2=2x的焦点
F(
1
2
,0
)准线方程x=-
1
2

设A(x1,y1)   B(x2,y2
∴|AF|+|BF|=x1+
1
2
+x2+
1
2
=5,
解得x1+x2=4
∴线段AB的中点横坐标为:2.
故答案为:2.
参考解析:
12
【简答题】
[3/867]已知A,B是抛物线y2=-7x上的两点,且OA⊥OB(Ⅰ)求证:直线AB过定点,并求出定点坐标;(Ⅱ)求△AOB的面积的最小值.
参考答案:
(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则
y12=-7x1
y22=-7x2

∵OA⊥OB,∴
OA
OB
=0

∴x1x2+y1y2=0,
∴(-
y12
7
)•(-
y22
7
)+y1y2=0,
∴y1y2=-49,x1x2=49,
∴kAB=
y1-y2
x1-x2
=
y1-y2
y12
-7
-
y22
-7
=
-7
y1+y2

∴AB的方程为y-y1=
-7
y1+y2
(x-x1)

∴y=
-7
y1+y2
x-
49
y1+y2

∴y=
-7
y1+y2
(x+7),
∴直线AB过点(-7,0)…(6分)
(2)∵直线AB过点(-7,0),OA⊥OB,
∴当直线AB过(-7,0)且垂直于x轴时,△AOB的面积的取最小值.
此时A(-7,7),B(-7,-7),
∴|OA|=|OB|=7
2

∴△AOB的面积的最小值S=
1
2
×7
2
×7
2
=49.…(12分)
参考解析:
y12=-7x1
y22=-7x2
【简答题】
[4/867]AB为过抛物线焦点F的弦,P为AB中点,A、B、P在准线l上射影分别为M、N、Q,则下列命题:①以AB为直径作圆则此圆与准线l相交;②MF⊥NF;③A...
参考答案:
由题意,AP+BP=AM+BN
PQ=
1
2
AB
,∴以AB为直径作圆则此圆与准线l相切,故①错,③对;
由AP=AF可知∠AMF=∠AFM,同理∠BFN=∠BNF,利用AMBN,可得MF⊥NF,从而②④正确;
对于 ⑤,不妨设抛物线方程为y2=2px,直线AB:x=ky+
p
2

联立可得y2-2kpy-p2=0
A(
y 21
2p
y1)
B(
y 22
2p
y2)
,则N(-
p
2
y2)

kOA=
2p
y1
kON=
-2y2
p

∵y1y2=-p2,∴kOA=kON,故⑤正确
故答案为②③④⑤
参考解析:
12
【简答题】
[5/867]已知点A(0,2)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,线段FA交抛物线与点B,过B做l的垂线,垂足为M,若AM⊥MF,则p=( ...
参考答案:
参考解析:
【简答题】
[6/867]如果抛物线y2=ax的准线是直线x=-1,那么它的焦点坐标为(  ) A.(1,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(-1,0)
参考答案:
A
参考解析:
【简答题】
[7/867]抛物线y= 【图片】x2的焦点坐标是(  ) A.( 【图片】,0) B.(1,0) C.(0,2) D.(0,1)
参考答案:
D
参考解析:
【简答题】
[8/867]过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点坐标为(3,2),则p的值为(  ) A.12B.1C...
参考答案:
∵抛物线y2=2px的焦点为F(
p
2
,0)
∴过焦点且倾斜角为45°的直线l方程为y=x-
p
2

与抛物线方程消去x,得
1
2p
y2-y-
p
2
=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),
可得y1+y2=2p=2×2=4,解之得p=2
故选:C
参考解析:
p2
【简答题】
[9/867]已知抛物线y2=4x上一点到焦点的距离为5,这点的坐标为______.
参考答案:
∵抛物线方程为y2=4x,
∴焦点为F(1,0),准线为l:x=-1
设所求点坐标为P(x,y)
作PQ⊥l于Q
根据抛物线定义可知P到准线的距离等于P、Q的距离
即x+1=5,解之得x=4,
代入抛物线方程求得y=±4
故点P坐标为:(4,±4)
故答案为:(4,4)或(4,-4).
参考解析:
【简答题】
[10/867]已知抛物线y2=4x与直线y=2x+b相交于A,B两点,|AB|=35.(1)求b的值;(2)设P 是x轴上的一点,当△PAB的面积为39时...
参考答案:
(1)设A(x1,y1)、B(x2,y2),
由抛物线y2=4x与直线y=2x+b,可得4x2+4(b-1)x+b2=0,
△=16(b-1)2-16b2>0,∴b<
1
2

又由韦达定理有x1+x2=1-b,x1x2=
b2
4

∴|AB|=
1+4
(x1+x2)2-4x1x2
=
5(1-2b)

5(1-2b)
=3
5
,∴b=-4.
(2)设x轴上点P(x,0),P到AB的距离为d,则
d=
|2x-0-4|
5
=
|2x-4|
5

∴S△PBC=
1
2
3
5
|2x-4|
5
=39,
∴|2x-4|=26,
∴x=15或x=-11,
∴P(15,0)或(-11,0).
参考解析:
12