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动点的轨迹方程题库
动点的轨迹方程题库 - 刷刷题
题数
518
考试分类
高中数学>动点的轨迹方程
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章节目录
简介
高中数学-动点的轨迹方程
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题目预览
【简答题】
[1/518]在直角坐标系xOy中,长为2+1的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上滑动,CP= 2PD.记点P的轨迹为曲线E.(I)求曲线E的方程;(II)经过点...
参考答案:
(Ⅰ)设C(m,0),D(0,n),P(x,y).
CP
=
2
PD
,得(x-m,y)=
2
(-x,n-y),
∴x-m=-
2
x,y=
2
(n-y),
由|CD|=
2
+1,得m2+n2=(
2
+1)2
∴(
2
+1)2x2+
(
2
+1)2
2
y2
=(
2
+1)2
整理,得曲线E的方程为x2+
y2
2
=1
(II)设A(x1,y1),B(x2,y2),
OM
=
OA
+
OB
知点M坐标为(x1+x2,y1+y2).
设直线l的方程为y=kx+1,代入曲线E方程,得(k2+2)x2+2kx-1=0,
则x1+x2=-
2k
k2+2
,x1x2=-
1
k2+2

y1+y2=k(x1+x2)+2=
4
k2+2

由点M在曲线E上,知(x1+x22+
(y1+y2)2
2
=1,
即(-
2k
k2+2
2+
8
(k2+2)2
=1
解得k2=2.
∴x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(-
2k
k2+2
)+1=-
3
4

OA
OB
=-
3
4
参考解析:
CP
【简答题】
[2/518]已知圆M:(x+1)2+y2=8,定点N(1,0),点P为圆M上的动点,若Q在NP上,点G在MP上,且满足NP=2 NQ, GQ• NP=0.(I)求...
参考答案:
(I)∵
NP
=2
NQ
GQ
NP
=
0

∴|GP|=|GN|
|GM+|GN|=|GM|+|GP|=|MP|=2
2

∵|MN|=2
∴G是以M,N为焦点的椭圆
设曲线C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
2a=2
2
c=1
b2=a2-c2
得a2=2,b2=1
∴点G的轨迹C的方程为:
x2
2
+y2=1
(6分)
(II)由题意知直线l的斜率存在,
设直线l的方程为y=kx+2A(x1,y1)B(x2,y2
y=kx+2
x2
2
+y2=1
得:(1+2k2)x2+8kx+6=0
由直线l与椭圆相交于A、B两点,
△>0⇒k2
3
2

由根与系数关系得
x1+x2=-
8k
1+2k2
x1x2=
6
1+2k2
S△AOB=
1
2
|PO||x1-x2|=
2
2
2k2-3
1+2k2

m=
2k2-3
(m>0),则2k2=m2+3

S=
2
2
m
m 2+4
=
2
2
m+
4
m
2
2

当且仅当m=
4
m
,即m=2时,Smax=
2
2
,此时k=±
14
2

∴所求的直线方程为±
14
x-2y+4=0
(13分)
参考解析:
NP
【简答题】
[3/518]点P是以F1,F2为焦点的椭圆上的一点,过焦点F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为M点,则点M的轨迹是(  ) A.抛物线 B.椭圆 C.双曲...
参考答案:
D
参考解析:
【简答题】
[4/518]P为双曲线C上一点,F1、F2是双曲线C的两个焦点,过双曲线C的一个焦点作∠F1PF2的平分线的垂线,设垂足为Q,则Q点的轨迹是(  ) A.直线 B...
参考答案:
B
参考解析:
【简答题】
[5/518]已知k>0,直线l1:y=kx,l2:y=-kx.(1)证明:到l1、l2的距离的平方和为定值a(a>0)的点的轨迹是圆或椭圆;(2)求到l1、l2的...
参考答案:
(1)证明:设点P(x,y)为动点,则
|y-kx|2
1+k2
+
|y+kx|2
1+k2
=a,
整理得
x2
(1+k2)a
2k2
+
y2
(1+k2)a
2
=1.
因此,当k=1时,动点的轨迹为圆;
当k≠1时,动点的轨迹为椭圆.
(2)设点P(x,y)为动点,则
|y-kx|+|y+kx|=c
1+k2

当y≥k|x|时,y-kx+y+kx=c
1+k2
,即y=
1
2
c
1+k2

当y≤-k|x|时,kx-y-y-kx=c
1+k2
,即y=-
1
2
c
1+k2

当-k|x|<y<k|x|,x>0时,kx-y+y+kx=c
1+k2
,即x=
1
2k
c
1+k2

当-k|x|<y<k|x|,x<0时,y-kx-y-kx=c
1+k2
,即x=-
1
2k
c
1+k2

综上,动点的轨迹为矩形.
参考解析:
|y-kx |21+ k2
【简答题】
[6/518]已知动点P到定点A(0,2)的距离比它到定直线y=-4的距离小2个单位,则P的轨迹方程为(  ) A.y2=8x B.y2=4x C.y= 【图片】x...
参考答案:
C
参考解析:
【简答题】
[7/518](文)(1)已知动点P(x,y)到点F(0,1)与到直线y=-1的距离相等,求点P的轨迹L的方程;(2)若正方形ABCD的三个顶点A(x1,y1),B...
参考答案:
(1)由题设可得动点P的轨迹方程为x2=4y.                         (4分)
(2)由(1),可设直线BC的方程为:y=k(x-x2)+
x 22
4
(k>0),
y=k(x-x2)+
x 22
4
x2=4y
消y得x2-4kx-x22+4kx2=0,
易知x2、x3为该方程的两个根,故有x2+x3=4k,得x3=4k-x2
从而得|BC|=
1+k2
(x3-x2)=2
1+k2
(2k-x2)
,(7分)
类似地,可设直线AB的方程为:y=-
1
k
(x-x2)+
x 22
4

从而得|AB|=
2
1+k2
k2
(2+kx2)
,(9分)
由|AB|=|BC|,得k2•(2k-x2)=(2+kx2),
解得x2=
2(k3-1)
k2+k
,(11分)l=f(k)=
4
1+k2
(k2+1)
k(k+1)
(k>0).                              (13分)
(3)由(2)及k=2可得点B、C、A的坐标分别为,B(
7
3
49
36
)
C(
17
3
289
36
)
A(-
13
3
169
36
)
,所以D(-1,
409
36
)
.                              (18分)
参考解析:
x 22
4
【简答题】
[8/518]已知动圆M经过点G(0,-1),且与圆Q:x2+(y-1)2=8内切.(Ⅰ)求动圆M的圆心的轨迹E的方程.(Ⅱ)以m=(1, 2)为方向向量的直线l交...
参考答案:
(Ⅰ)依题意,点G(0,-1)在圆Q:x2+(y-1)2=8内部,
动圆与定圆相内切,且动圆在定圆内部,
∴得|MG|+|MQ|=2
2

可知M到两个定点G、Q的距离和为常数,并且常数大于|GQ|,所以P点的轨迹为椭圆,可以求得a=
2
,c=1,b=1,
所以曲线E的方程为x2+
y2
2
=1
.…5分
(Ⅱ)假设E上存在点P,使四边形OAPB为平行四边形.
由 (Ⅰ)可知曲线E的方程为x2+
y2
2
=1

设直线l的方程为y=
2
x+m
,A(x1,y1),B(x2,y2).
y=
2
x+m
x2+
y2
2
=1.
,得4x2+2
2
mx+m2-2=0

由△>0得m2<4,且x1+x2=-
2
m
2
x1x2=
m2-2
4
,…7分
y1y2=(
2
x1+m)(
2
x2+m)=
m2-2
2
,y1+y2=(
2
x1+m)+(
2
x2+m)=m
,E上的点P使四边形OAPB为平行四边形的充要条件是
OP
=
OA
+
OB

即P点的坐标为(x1+x2,y1+y2
(x1+x2)2+
(y1+y2)2
2
=1

x12+
y12
2
=1
x22+
y22
2
=1
,所以可得2x1x2+y1y2+1=0,…9分
可得m2=1,即m=1或m=-1.
当m=1时,P(-
2
2
,1)
,直线l方程为y=
2
x+1

当m=-1时,P(
2
2
,-1)
,直线l方程为y=
2
x-1
.  12分.
参考解析:
2
【简答题】
[9/518]如图,在平行四边形OABC中,点O是原点,点A和点C的坐标分别是(3,0)、(1,3),点D是线段AB上的动点.(1)求AB所在直线的一般式方程;(2...
参考答案:
(1)∵ABOC,∴AD所在直线的斜率为:KAB=KOC=3.
∴AB所在直线方程是y-0=3(x-3),即3x-y-9=0.
(2):设点M的坐标是(x,y),点D的坐标是(x0,y0),
由平行四边形的性质得点B的坐标是(4,6),
∵M是线段CD的中点,∴x=
x0+1
2
,y=
y0+3
2

于是有x0=2x-1,y0=2y-3,
∵点D在线段AB上运动,
∴3x0-y0-9=0,(3≤x0≤4),
∴3(2x-1)-(2y-3)-9=0
即6x-2y-9=0,(2≤x≤
5
2
).
参考解析:
x0+12
【简答题】
[10/518]由动点P向x2+y2=1引两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=60°,求动点P的轨迹方程.
参考答案:
∵∠APO(O为圆心)=
1
2
∠APB=30°,
∴PO=2OA=2.
∴P的轨迹是一个以原点为圆心,半径为2的圆,
轨迹方程为x2+y2=4.
参考解析:
12