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动点的轨迹方程题库
动点的轨迹方程题库 - 刷刷题
题数
518
考试分类
高中数学>动点的轨迹方程
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简介
高中数学-动点的轨迹方程
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题目预览
【简答题】
[1/518]在直角坐标系xOy中，长为2+1的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上滑动，CP= 2PD．记点P的轨迹为曲线E．（I）求曲线E的方程；（II）经过点...
参考答案：
（Ⅰ）设C（m，0），D（0，n），P（x，y）．
由
CP
=
2
PD
，得（x-m，y）=
2
（-x，n-y），
∴x-m=-
2
x，y=
2
（n-y），
由|CD|=
2
+1，得m2+n2=（
2
+1）2，
∴（
2
+1）2x2+
(
2
+1)2
2
y2 =（
2
+1）2，
整理，得曲线E的方程为x2+
y2
2
=1
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由
OM
=
OA
+
OB
知点M坐标为（x1+x2，y1+y2）．
设直线l的方程为y=kx+1，代入曲线E方程，得（k2+2）x2+2kx-1=0，
则x1+x2=-
2k
k2+2
，x1x2=-
1
k2+2
，
y1+y2=k（x1+x2）+2=
4
k2+2
，
由点M在曲线E上，知（x1+x2）2+
(y1+y2)2
2
=1，
即（-
2k
k2+2
）2+
8
(k2+2)2
=1
解得k2=2．
∴x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+k（-
2k
k2+2
）+1=-
3
4

∴
OA
•
OB
=-
3
4
．
参考解析：
CP
【简答题】
[2/518]已知圆M：（x+1）2+y2=8，定点N（1，0），点P为圆M上的动点，若Q在NP上，点G在MP上，且满足NP=2 NQ， GQ• NP=0．（I）求...
参考答案：
（I）∵
NP
=2
NQ
，
GQ
•
NP
=
0

∴|GP|=|GN|
∴|GM+|GN|=|GM|+|GP|=|MP|=2
2

∵|MN|=2
∴G是以M，N为焦点的椭圆
设曲线C：
x2
a2
+
y2
b2
=1 ，
2a=2
2
c=1
b2=a2-c2
得a2=2，b2=1
∴点G的轨迹C的方程为：
x2
2
+y2=1 （6分）
（II）由题意知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=kx+2A（x1，y1）B（x2，y2）
由
y=kx+2
x2
2
+y2=1
得：（1+2k2）x2+8kx+6=0
由直线l与椭圆相交于A、B两点，
∴△＞0⇒k2＞
3
2

由根与系数关系得
x1+x2=-
8k
1+2k2
x1•x2=
6
1+2k2
S△AOB=
1
2
|PO||x1-x2|=
2
2
2k2-3
1+2k2

令m=
2k2-3
(m＞0)，则2k2=m2+3
∴S=
2
2
m
m 2+4
=
2
2
m+
4
m
≤
2
2

当且仅当m=
4
m
，即m=2时，Smax=
2
2
，此时k=±
14
2

∴所求的直线方程为±
14
x-2y+4=0（13分）
参考解析：
NP
【简答题】
[3/518]点P是以F1，F2为焦点的椭圆上的一点，过焦点F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为M点，则点M的轨迹是（　　） A．抛物线 B．椭圆 C．双曲...
参考答案：
D
参考解析：
无
【简答题】
[4/518]P为双曲线C上一点，F1、F2是双曲线C的两个焦点，过双曲线C的一个焦点作∠F1PF2的平分线的垂线，设垂足为Q，则Q点的轨迹是（　　） A．直线 B...
参考答案：
B
参考解析：
无
【简答题】
[5/518]已知k＞0，直线l1：y=kx，l2：y=-kx．（1）证明：到l1、l2的距离的平方和为定值a（a＞0）的点的轨迹是圆或椭圆；（2）求到l1、l2的...
参考答案：
（1）证明：设点P（x，y）为动点，则
|y-kx|2
1+k2
+
|y+kx|2
1+k2
=a，
整理得
x2
(1+k2)a
2k2
+
y2
(1+k2)a
2
=1．
因此，当k=1时，动点的轨迹为圆；
当k≠1时，动点的轨迹为椭圆．
（2）设点P（x，y）为动点，则
|y-kx|+|y+kx|=c
1+k2
．
当y≥k|x|时，y-kx+y+kx=c
1+k2
，即y=
1
2
c
1+k2
；
当y≤-k|x|时，kx-y-y-kx=c
1+k2
，即y=-
1
2
c
1+k2
；
当-k|x|＜y＜k|x|，x＞0时，kx-y+y+kx=c
1+k2
，即x=
1
2k
c
1+k2
；
当-k|x|＜y＜k|x|，x＜0时，y-kx-y-kx=c
1+k2
，即x=-
1
2k
c
1+k2
．
综上，动点的轨迹为矩形．
参考解析：
|y-kx |21+ k2
【简答题】
[6/518]已知动点P到定点A（0，2）的距离比它到定直线y=-4的距离小2个单位，则P的轨迹方程为（　　） A．y2=8x B．y2=4x C．y= 【图片】x...
参考答案：
C
参考解析：
无
【简答题】
[7/518]（文）（1）已知动点P（x，y）到点F（0，1）与到直线y=-1的距离相等，求点P的轨迹L的方程；（2）若正方形ABCD的三个顶点A（x1，y1），B...
参考答案：
（1）由题设可得动点P的轨迹方程为x2=4y．                         （4分）
（2）由（1），可设直线BC的方程为：y=k(x-x2)+
x 22
4
（k＞0），
y=k(x-x2)+
x 22
4
x2=4y
消y得x2-4kx-x22+4kx2=0，
易知x2、x3为该方程的两个根，故有x2+x3=4k，得x3=4k-x2，
从而得|BC|=
1+k2
(x3-x2)=2
1+k2
(2k-x2)，（7分）
类似地，可设直线AB的方程为：y=-
1
k
(x-x2)+
x 22
4
，
从而得|AB|=
2
1+k2
k2
(2+kx2)，（9分）
由|AB|=|BC|，得k2•（2k-x2）=（2+kx2），
解得x2=
2(k3-1)
k2+k
，（11分）l=f(k)=
4
1+k2
(k2+1)
k(k+1)
（k＞0）．                              （13分）
（3）由（2）及k=2可得点B、C、A的坐标分别为，B(
7
3
，
49
36
)，C(
17
3
，
289
36
)，A(-
13
3
，
169
36
)，所以D(-1，
409
36
)．                              （18分）
参考解析：
x 22
4
【简答题】
[8/518]已知动圆M经过点G（0，-1），且与圆Q：x2+（y-1）2=8内切．（Ⅰ）求动圆M的圆心的轨迹E的方程．（Ⅱ）以m=(1， 2)为方向向量的直线l交...
参考答案：
（Ⅰ）依题意，点G（0，-1）在圆Q：x2+（y-1）2=8内部，
动圆与定圆相内切，且动圆在定圆内部，
∴得|MG|+|MQ|=2
2
，
可知M到两个定点G、Q的距离和为常数，并且常数大于|GQ|，所以P点的轨迹为椭圆，可以求得a=
2
，c=1，b=1，
所以曲线E的方程为x2+
y2
2
=1．…5分
（Ⅱ）假设E上存在点P，使四边形OAPB为平行四边形．
由 （Ⅰ）可知曲线E的方程为x2+
y2
2
=1．
设直线l的方程为y=
2
x+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．
由
y=
2
x+m
x2+
y2
2
=1.
，得4x2+2
2
mx+m2-2=0，
由△＞0得m2＜4，且x1+x2=-
2
m
2
，x1x2=
m2-2
4
，…7分
则y1y2=(
2
x1+m)(
2
x2+m)=
m2-2
2
，y1+y2=(
2
x1+m)+(
2
x2+m)=m，E上的点P使四边形OAPB为平行四边形的充要条件是
OP
=
OA
+
OB
，
即P点的坐标为（x1+x2，y1+y2）
且(x1+x2)2+
(y1+y2)2
2
=1，
又x12+
y12
2
=1，x22+
y22
2
=1，所以可得2x1x2+y1y2+1=0，…9分
可得m2=1，即m=1或m=-1．
当m=1时，P(-
2
2
，1)，直线l方程为y=
2
x+1；
当m=-1时，P(
2
2
，-1)，直线l方程为y=
2
x-1．  12分．
参考解析：
2
【简答题】
[9/518]如图，在平行四边形OABC中，点O是原点，点A和点C的坐标分别是（3，0）、（1，3），点D是线段AB上的动点．（1）求AB所在直线的一般式方程；（2...
参考答案：
（1）∵AB∥OC，∴AD所在直线的斜率为：KAB=KOC=3．
∴AB所在直线方程是y-0=3（x-3），即3x-y-9=0．
（2）：设点M的坐标是（x，y），点D的坐标是（x0，y0），
由平行四边形的性质得点B的坐标是（4，6），
∵M是线段CD的中点，∴x=
x0+1
2
，y=
y0+3
2
，
于是有x0=2x-1，y0=2y-3，
∵点D在线段AB上运动，
∴3x0-y0-9=0，（3≤x0≤4），
∴3（2x-1）-（2y-3）-9=0
即6x-2y-9=0，（2≤x≤
5
2
）．
参考解析：
x0+12
【简答题】
[10/518]由动点P向x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，求动点P的轨迹方程．
参考答案：
∵∠APO（O为圆心）=
1
2
∠APB=30°，
∴PO=2OA=2．
∴P的轨迹是一个以原点为圆心，半径为2的圆，
轨迹方程为x2+y2=4．
参考解析：
12