等差数列的通项公式题库 - 考试题库

【简答题】

[1/1225]已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26．{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令【图片】（n∈N+），求数列{bn}的前...

参考答案：

解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a3=7，a₅+a₇=26，
∴有

，解得a₁=3，d=2，
∴a_n=3+2（n﹣1）=2n+1；
S_n=

=n²+2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n+1，
∴bn=

=

，
∴Tn=

=

，
即数列{b_n}的前n项和T_n=

．

参考解析：

无

【简答题】

[2/1225]设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且对任意正整数n，点（an+1，Sn）在直线2x+y-2=0上．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn...

参考答案：

（1）：（Ⅰ）∵点（a_n+1，S_n）在直线2x+y-2=0上，
∴2a_n+1+S_n-2=0． ①
当n≥2时，2a_n+s_n-1-2=0． ②
①─②得 2a_n+1-2a_n+a_n=0，即

an+1

an

=

1

2

（n≥2），
把n=1和a₁=1代入①，可得a₂=

1

2

，也满足上式，
∴{a_n}是首项为1，公比为

1

2

的等比数列，
则a_n=(

1

2

)n-1，
（2）设数列{b_n}的前n项和是T_n，
由（1）得，b_n=na_n²=n(

1

2

)2(n-1)=n(

1

4

)n-1，
∴T_n=1+2×

1

4

+3×

1

42

+…+n(

1

4

)n-1 ①，
则

1

4

Tn =

1

4

+2×

1

42

+3×

1

43

+…+n(

1

4

)n ②，
①-②得，

3

4

Tn =1+

1

4

+

1

42

+

1

43

+…+

1

4n-1

-n(

1

4

)n
=

1-

1

4n

1-

1

4

-n(

1

4

)n=

3

4

(1-

1

4n

)-n(

1

4

)n ，
则T_n=1-

4n+3

3•4n

．

参考解析：

an+1 an

【简答题】

[3/1225]在等比数列{an}中，a2-a1=2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．

参考答案：

设等比数列的公比为q，
由已知可得，a₁q-a₁=2，4a1q=3a1+a1q2
联立可得，a₁（q-1）=2，q²-4q+3=0
∴

q=3

a1=1

或q=1（舍去）
∴sn=

1-3n

1-3

=

3n-1

2

参考解析：

无

【简答题】

[4/1225]已知等差数列{an}满足a2=2，a5=8．（1）求{an}的通项公式；（2）各项均为正数的等比数列{bn}中，b1=1，b2+b3=a4，求{bn}...

参考答案：

（1）设等差数列{an}的公差为d
∵a₂=2，a₅=8
∴a₁+d=2，a₁+4d=8解得 a₁=0，d=2
∴数列{an}的通项公式a_n=a₁+（n-1）d=2n-2
（2）设各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q（q＞0）
由（1）知a_n=2n-2
b₁=1，b₂+b₃=a₄=6
∴q≠1
∴q=2或q=-3（舍去）
∴{b_n}的前n项和T_n=2ⁿ-1

参考解析：

无

【简答题】

[5/1225]已知{an}为等差数列，且a3=-6，a6=0．（1）求{an}的通项公式；（2）求{an}的前n项和．

参考答案：

（1）∵d=

a6-a3

6-3

=2，
∴a_n=a₃+（n-3）d=2n-12．
（2）Sn=

(a1+an)n

2

=n²-11n．

参考解析：

a6- a36-3

【简答题】

[6/1225]已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若从{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…...

参考答案：

（1）因为数列{a_n}是等差数列，
由a₁+a₂+a₃=12可得3a₂=12，即a₂=4，
又a₁=2，∴公差d=a₂-a₁=4-2=2，
所以数列{a_n}的通项公式为：a_n=2n …（4分）
（2）由（1）可得bn=a2n=2×2n=2n+1…（6分）
当n≥2时，

bn

bn-1

=2 是与n无关的常数，
所以数列{b_n}是首项为4，公比为2的等比数列 …（8分）

参考解析：

bn bn-1

【简答题】

[7/1225]若等差数列{an}的前5项和Sn=25，且a2=3，则a4=______．

参考答案：

∵等差数列{a_n}的前5项和S_n=25，且a₂=3，
∴

5

2

×2a3=25

a2=3

，
∴a₃=5，d=a₃-a₂=5-3=2，
∴a₄=a₃+d=5+2=7．
故答案为：7．

参考解析：

5

2

×2a3=25

a2=3

【简答题】

[8/1225]已知公差不为零的等差数列{an}中，M=an·an+3，N=an+1·an+2，则M与N的大小关系是（）。

参考答案：

M＜N

参考解析：

无

【简答题】

[9/1225]已知y=f（x）定义在R上的单调函数，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x、y∈R，有f（x+y）=f（x）·f（y），设数列{an}满足a1=...

参考答案：

解：（Ⅰ）由题意，令y=0，x＜0，得f（x）[1﹣f（0）]=0，
∵当x＜0时，f（x）＞1，∴a₁=f（0）=1
由递推关系知f（a_n+1）?f（﹣2﹣a_n）=1，即f（a_n+1﹣2﹣a_n）=f（0），
∵f（x）在R上单调，∴a_n+1﹣a_n=2，（n∈N*），
又a₁=1，∴a_n=2n﹣1．
（Ⅱ）