(Ⅰ)∵DE⊥AB,∴DE⊥BE,DE⊥PE,….(2分) ∵BE∩PE=E,∴DE⊥平面PEB, 又∵PB⊂平面PEB,∴BP⊥DE;….(4分) (Ⅱ)∵PE⊥BE,PE⊥DE,DE⊥BE, ∴分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图),…(5分) 设PE=a,则B(0,4-a,0),D(a,0,0),C(2,2-a,0), P(0,0,a),…(7分) 可得 |
以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建系如图. 其中A(1,0,0),B(1,2,0),A1(1,0, |
以D为原点,DC为y轴,DA为x轴,DD1为Z轴建立空间直角坐标系,…(1分) 则A1(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),E(1,
(1)
cos<
所以所求角的余弦值为
(2)D1D⊥平面AEC,所以
设平面A1EC法向量为
所以cos<
|
(1)∵
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解法一:(Ⅰ)连接AC,由AB=4,BC=3,∠ABC=90°,得AC=5, 又AD=5,E是CD得中点, 所以CD⊥AE, PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD. 所以PA⊥CD, 而PA,AE是平面PAE内的两条相交直线, 所以CD⊥平面PAE. (Ⅱ)过点B作BG∥CD,分别与AE,AD相交于点F,G,连接PF, 由CD⊥平面PAE知,BG⊥平面PAE,于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角,且BG⊥AE. 由PA⊥平面ABCD知,∠PBA即为直线PB与平面ABCD所成的角. 由题意∠PBA=∠BPF,因为sin∠PBA=
由∠DAB=∠ABC=90°知,AD∥BC,又BG∥CD. 所以四边形BCDG是平行四边形, 故GD=BC=3,于是AG=2. 在RT△BAG中,AB=4,AG=2,BG⊥AF, 所以BG= |
(1)证明:如图所示,连接BD交AC于点O. ∵四边形ABCD是正方形,∴BD⊥AC. ∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BD. 又AC∩BD=O. ∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC. (2)∵PA⊥底面ABCD,∴PA=2a是四棱锥P-ACD的高. 而S△ACD=
∴V四棱锥P-ACD=
(3)建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,2a). 则 |
(1)AA1⊥底面ABCD,所以CC1⊥A1C1…(1分), 取A1B1的中点E,连接EC1, 则四边形A1EC1D1是正方形,∠A1C1E=
又∵B1E=C1E=1,∠B1C1E=
∴∠A1C1B1=
∵CC1∩B1C1=C1,∴A1C1⊥平面BCC1B1…(5分). (2)以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴, 建立空间直角坐标系,如图所示…(6分), 则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0), A1(1,0,1),C1(0,1,1)…(7分), |
(Ⅰ)连结AB1,交A1B于点O,连结OD, ∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=BC=3, ∴ABB1A1是正方形,∴O是AB1的中点, ∵D是AC的中点,∴OD是△ACB1的中位线,∴OD∥B1C, ∵B1C不包含于平面A1BD,OD⊂平面A1BD, ∴B1C∥平面A1BD. (Ⅱ)以D为坐标原点,以DC为x轴,以DB为y轴, 以过D点垂直于AC的直线为z轴,建立空间直角坐标系, ∵AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点, ∴A1(-1,0,3),B(0,2 |
(I)以A为原点,
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证明:(Ⅰ)由PA⊥平面ABCD知AC为PC在平面ABCD的射影, 由∠DAC=90°知,AD⊥DC, 故AD⊥PC(三垂线定理)。 |
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解:(Ⅱ)建立如图所示空间直角坐标系A-xyz, 由已知可得, 设平面PBC的法向量为, 由, 则, 则PD与平面PBC所成的角为。 |