解:(Ⅰ)依题意有:,且c2 =a2+b2 所以a2=1,b2=3 双曲线 的方程为 (Ⅱ)①若直线l 的斜率不存在,则直线l 与双曲线C 没有交点,故满足条件的直线 l不存在。 ②若直线l 的斜率为0 ,则线段AB 为y 轴平行;不满足条件,直线l 不存在。 ③若直线 l的斜率为± ,则直线l 与双曲线C 的渐近线平行,故满足条件的直线 l不存在。 ④若直线 l的斜率存在,且不为 0不为± 时设为k ,则直线l 的方程为y=kx-1 设A(x1,y1)、B(x2,y2), 由 得(3-k2)x+2kx-4=0 △=4k2+16(3-k2)>0-2<k<2 ∴x1+x2=,y1+y2= ∴线段AB 的中点为(,) ∴线段AB 的垂直平分线 ∴P(,0)Q(0,) ∴ 线段PQ 的中点为(,) 若四边形APBQ 为菱形,则线段PQ 的中点在直线l 上,所以 解得k2=-1 ,这矛盾 综上,不存在满足条件的直线 |
解:(1)∵点A(﹣1,0),B(1,0),动点P(x,y), ∴ , , ∵PA与PB的斜率之积为3, ∴ ,x≠±1, ∴ . (2)①设∠CFB=α,∠CBF=β,β为锐角, 则tanα= ,tanβ= , , ∴tan2β= = = =tanα. ②由题意C(x1,y1),y1>0,D(x2,y2),y2<0, 联立 ,得(3m2﹣1)y2+6mby+3b2﹣3=0, 则△=12(b2+3m2﹣1)>0, , , ∵k= ,∴ ,∴3m2﹣1<0, 故 , 设∠DFB=γ,∠DBF=θ, ∵ ,tan , , ∴tan2θ= = =﹣ =tanγ, ∵2θ∈(0,π),γ∈(0,π), ∴γ=2θ,即∠DFB=2∠DBF, ∵α,2β∈(0,π), ∴由(2)①得α=2β,即∠CFB=2∠CBF, 又∠DFB=2∠DBF, ∴∠FCB与∠FDB互补,即∠FCB+∠FDB=π, ∴2π﹣3∠CBF﹣3∠DBF=π,则 , 由到角公式,得 = , ∴ = , 即 , ∴3m2﹣1=4b+4, ∴3m2﹣4b=5(定值). |
或 |
∵双曲线
∴双曲线方程即:
代入双曲线方程得:x2-2kx-k2-2a2=0,设P(x1,y1)、Q(x2,y2), 则x1+x2=2k,则x1•x2=-k2-2a2, ∵
=2(-k2-2a2)+k•2k+k2=k2-4a2=-3 ①, ∵
∴(x2-x1,x2-x1)=4(x2-0,x2+k-k),∴x1=-3x2② 把②代入根与系数的关系得:x1=3k,x2=-k,k2=a2, 再由①得:a=1,k=±1, ∴直线ℓ的方程为x-y-1=0 或x-y+1=0, 双曲线的方程:x2-
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C |
2 |
双曲线
∵a=6,b=8,c=10, ∴F1(-10,0),F2(10,0), ∵|PF1|-|PF2|=2a=12, ∴|MP|≤|PF1|+|MF1|,|PN|≥|PF2|+|NF2|, ∴-|PN|≤-|PF2|+|NF2|, 所以,|PM|-|PN|≤|PF1|+|MF1|-|PF2|+|NF2| =12+1+2 =15. 故答案为:15. |
解:∵, ∴直线AB过焦点F, ∴直线AB为, 代入,有, 解得:,, 又=4+1=5,, ∴。 |
4 |
解:(Ⅰ)由题意得,解得, 所以b2=c2-a2=2, 所以双曲线C的方程为。 (Ⅱ)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0), 由得(判别式△>0), 所以m,y0=x0+m=2m, 因为点M(x0,y0)在圆x2+y2=5上, 所以m2+(2m)2=5,故m=±1。 |