函数解析式的求解及其常用方法题库 - 考试题库

【简答题】

[1/476]已知函数y=f（x）和y=g（x）的图象关于y轴对称，且f（x）=x2-2x，则g（x）=（　　） A．x2-2x B．x2+2x C．-x2+2x ...

参考答案：

B

参考解析：

无

【简答题】

[2/476]在经济学中，定义Mf（x）=f（x+1）-f（x），称Mf（x）为函数f（x）的边际函数，某企业的一种产品的利润函数P（x）=-x3+30x2+100...

参考答案：

Mp（x）=p（x+1）-p（x）=-（x+1）³+30（x+2）²+1000-（-x³+30x²+1000）=-3x²+57x+29 （x∈[10，25]且x∈N^*）．
故答案为-3x²+57x+29（x∈[10，25]且x∈N^*）．

参考解析：

无

【简答题】

[3/476]已知函数f（x）=2x+3，g（x）=3x﹣5，则f[g（x）]=（）．

参考答案：

6x﹣7

参考解析：

无

【简答题】

[4/476]已知函数f（x）=2x3+ax与g（x）=bx2+c的图象都经过点P（2，0），且在点P处有公切线，求f（x），g（x）的表达式及点P处的公切线方程．

参考答案：

∵函数f（x）=2x³+ax的图象经过点P（2，0）
∴f（2）=2×2³+2a=0∴a=-8
∴f（x）=2x³-8x
∴f′（x）=6x²-8
∴点P处的切线斜率k=f′（2）=6×2²-8=16
∵两函数图象在点P处有公切线
∵g′（x）=2bx
∴g′（2）=4b=16∴b=4
∴g（2）=16+c=0∴c=-16
∴g（x）=4x²-16∴点P处的公切线方程为：y=16（x-2），即16x-y-32=0．

参考解析：

无

【简答题】

[5/476]已知函数f（x）满足：f（x+1）=x+2x．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax对任意的a∈[-1，1]恒成立，求x的取值范围...

参考答案：

（1）设t=

x

+1 ，则t≥1，且x=（t-1）²，
∴f（t）=（t-1）²+2（t-1）=t²-1，
∴函数的解析式是：f（x）=x²-1（x≥1），
另f(

x

+1)=(

x

+1)2-1，
∴f（x）=x²-1（x≥1），
（2）由题意得，x²-1≥ax对任意的a∈[-1，1]恒成立，
又x≥1，∴a≤

x2-1

x

对任意的a∈[-1，1]恒成立，
∴1≤

x2-1

x

，即x²-x-1≥0，
解得x≥

1+

5

2

或x≤

-1-

5

2

（舍去），
故x的取值范围是x≥

1+

5

2

．

参考解析：

无

【简答题】

[6/476]动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点出发顺次经过B、C、D再回到A；设x表示P点的行程，y表示PA的长，求y关于x的函数解析式．

参考答案：

当P在AB上时，即0≤x≤1，y=PA=x；
当P在BC上时，即1≤x≤2，y=PA=

1+(x-1)2

；
当P在CD上时，即2≤x≤3，y=PA=

1+(3-x)2

；
当P在DA上时，即3≤x≤4，y=PA=4-x．
所以y关于x的函数解析式为：y=

x，0≤x≤1

1+(x-1)2

，1＜x≤2

1+(3-x)2

，2＜x≤3

4-x，3＜x≤4

．

参考解析：

1+ (x-1)2

【简答题】

[7/476]函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，且对任意的x∈R，均有f（x+4）=f（x）成立．当x∈（0，2）时，f（x）=-x2+2x+1．（Ⅰ）当x∈[...

参考答案：

（Ⅰ）当x=0时，∵f（0）=-f（0），∴f（0）=0
当x∈（-2，0）时，-x∈（0，2），f（x）=-f（-x）=-（x²-2x+1）=x²+2x-1．
由f（x+4）=f（x）知f（x）为周期函数，且T=4．
当x∈[4k-2，4k）（k∈Z）时，x-4k∈[-2，0），
f（x）=f（x-4k）=（x-4k）²+2（x-4k）-1．
当x∈[4k，4k+2]）（k∈Z）时，x-4k∈[0，2]，
f（x）=f（x-4k）=-（x-4k）²+2（x-4k）+1．
故当x∈[4k-2，4k+2]（k∈Z）时，（x-4k）²+2（x-4k）-1
f（x）=

(x-4k)2+2(x-4k)-1，x∈[4k-2，4k)

0x=4k

-(x-4k)2+2(x-4k)+1，x∈(4k，4k+2]

（Ⅱ）当x∈[-2，2]时，由f(x)＞

3

2

，得

-2≤x＜0

x2+2x-1＞

3

2

或

0＜x≤2

-x2+2x+1＞

3

2

解得1-

2

＜x＜1+

2

，因为f（x）是以4为周期的函数，所以不等式f(x)＞

3

2

的解集是{x|4k+1-

2

＜x＜4k+1+

2

}

参考解析：

(x-4k)2+2(x-4k)-1，x∈[4k-2，4k)

0x=4k

-(x-4k)2+2(x-4k)+1，x∈(4k，4k+2]

【简答题】

[8/476]已知函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2+2xf′（2），则f（x）=______．

参考答案：

∵函数f（x）在R上可导，且f（x）=x²+2xf′（2），
∴f′（x）=2x+2，∴f′（2）=2×2+2=6，
∴f（x）=x²+2x×6=x²+12x，
故答案为：x²+12x；

参考解析：

无

【简答题】

[9/476]已知sin（2α+β）=3sinβ，设tanα=x，tanβ=y，设y=f（x）（Ⅰ）求证：tan（α+β）=2tanα；　　　（Ⅱ）求f（x）的解析...

参考答案：

（Ⅰ）∵sin（2α+β）=3sinβ，∴sin（α+β+α）=3sin（α+β-α），
∴sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα，∴sin（α+β）cosα=2 cos（α+β）sinα，
∴tan（α+β）=2tanα．
（Ⅱ）设tanα=x，tanβ=y，由（Ⅰ）可得

x+y

1-xy

=2x，∴y=

x

1+2x2

，即 f（x）=

x

1+2x2

．
（Ⅲ）∵数列a_n满足 an=

1

f(n)

，∴a_n=

1+2n2

n

=

1

n

+2n≥2

2

，当且仅当

1

n

=2n，即 n=

2

时取等号．
由于n∈N₊，故数列不存在最小项．

参考解析：

无

【简答题】

[10/476]若函数f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）的解析式是f（x）=x（1-x），则当x＞0时，的解析式是（　　） A．f（x）=-x（1-x） B．f（...

参考答案：

D

参考解析：

无