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平顶山学院-数学与应用数学-实变函数(专升本)
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简介
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【简答题】
[1/17]叙述集合外测度的定义。并证明如果E是R中一个可数集,则E的外测度为0.
参考答案：
答：设E⊆Rⁿ，{In}是一列开区间，且E⊆∑In 则称 m^.E=inf{∑|In||{In}是E的一个开覆盖}为集合E的外测度。 通过给出开覆盖，求出开覆盖测度下确界来证明有理数集测度为0
参考解析：
无
【简答题】
[2/17]设f(x)定义在可测集D上,若f2在D上可测而且{f>0}是可测集,求证:f在D上可测。
参考答案：
解：对任意的实数a 若a=0，则{f>}可测 若a>0,则{f>a}={f>0}-{f2
a}={f>0}∪{f2
参考解析：
无
【简答题】
[3/17][a,b]上的有界变差函数与单调函数有什么关系?
参考答案：
简单函数必为有界变差函数,但是有界变差函数不一定是单调函数,有界变差函数可以表示成单调函数之差。 ………………5分
参考解析：
无
【简答题】
[4/17]可测集E上的可测函数与简单函数有什么关系?
参考答案：
简单函数必是可测函数,但可测函数不一定是简单函数,可测函数一定可表示成简单函
参考解析：
无
【简答题】
[5/17]设f是x上的实函数,若对任意的有限实数α,集合X(f>α)恒可测,则称f为x上的___函数。
参考答案：
(1) 可测;
参考解析：
无
【简答题】
[6/17]设E是R中有理数全体,则它的测度mE= ___。
参考答案：
(1) 0;
参考解析：
无
【简答题】
[7/17]集合列{An},其中An=(1/n,2),则UAn=___)。
参考答案：
(1) （0,2）;
参考解析：
无
【判断题】
[8/17]有界变差函数一定是绝对连续函数。 ( )
A.
正确
B.
错误
参考答案：
B
参考解析：
无
【判断题】
[9/17]闭区间[0,1]中的所有无理数构成的集合的测度小于1。 ( )
A.
正确
B.
错误
参考答案：
B
参考解析：
无
【判断题】
[10/17]开区间(0,1)与闭区间[0,1]不能建立一一对应,故它们的基数一定不同。( )
A.
正确
B.
错误
参考答案：
B
参考解析：
无