函数的奇偶性、周期性题库 - 考试题库

【简答题】

[1/2000]若f（x）是以5为周期的奇函数且f（-3）=1，tanα=2，则f（20sinαcosα）=______．

参考答案：

∵20sinα•cosα=10sin2α=10×

2tanα

1+tan2α

=8
∴f（20sinαcosα）=f（8）=f（3）=-f（-3）=-1
故答案为：-1

参考解析：

2tanα1+ tan2α

【简答题】

[2/2000]若函数f(x)= x2-9x-3(x≠3)a(x=3)在x=3处连续，则a=______．

参考答案：

由函数连续的定义可得，

lim

x→3

f(x)=f(3)
∴

lim

x→3

x2-9

x-3

=a
∴

lim

x→3

(x+3)=6=a
故答案为：6

参考解析：

无

【简答题】

[3/2000]函数【图片】 [ ] A.是奇函数不是偶函数 B.是偶函数，不是奇函数 C.既是奇函数，又是偶函数...

参考答案：

A

参考解析：

无

【简答题】

[4/2000]已知函数f（x）=ax-a+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（3，2），（1）求实数a；（2）在（1）的条件下，将函数f（x）的图象向下平移1个单位，再...

参考答案：

（1）由f（x）=a^x-a+1，知令x=a，则f（a）=2，
所以f（x）恒过定点（a，2），
由题设得a=3；
（2）由（1）知f（x）=3^x-3+1，
将f（x）的图象向下平移1个单位，得到m（x）=3^x-3，
再向左平移3个单位，得到g（x）=3^x，
所以函数g（x）的反函数h（x）=log₃x．
（3）[h（x）+2]²≤h（x²）+m+2，即[log₃x+2]²≤log3x2+m+2，
所以(log3x)2+2log₃x+2-m≤0，
令t=log₃x，则由x∈[1，9]得t∈[0，2]，
则不等式化为t²+2t+2-m≤0，
不等式[h（x）+2]²≤h（x²）+m+2 恒成立，等价于t²+2t+2-m≤0恒成立，
因为t²+2t+2-m=（t+1）²+1-m在[0，2]上单调递增，
所以t²+2t+2-m≤2²+2×2+2-m=10-m，
所以10-m≤0，解得m≥10．
故实数m的取值范围为：m≥10．

参考解析：

无

【简答题】

[5/2000]已知函数f(x)= ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f( 12)= 25，①求函数f（x）的解析式；②判断函数f（x）在（-1，1）...

参考答案：

①依题意得

f(0)=0

f(

1

2

)=

2

5

，即

b=0

1

2

a+b

1+

1

4

=

2

5

，解得：

a=1

b=0

．
∴f（x）=

x

1+x2

．
②f（x）在（-1，1）上是增函数，
证明如下：任取-1＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

．
∵-1＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在（-1，1）上是增函数．
③令log₂^x=t，则不等式f（log₂x-1）+f（log₂x）＜0，
转化为f（t-1）+f（t）＜0⇒f（t-1）＜-f（t）=f（-t）．
∵f（x）在（-1，1）上是增函数；
∴-1＜t-1＜-t＜1⇒0＜t＜

1

2

．
∴0＜log₂^x＜

1

2

⇒1＜x＜

2

．
∴不等式f（log₂x-1）+f（log₂x）的解集为（1，

2

）．

参考解析：

无

【简答题】

[6/2000]若【图片】是奇函数，则【图片】＝；

参考答案：

.

参考解析：

因为

为奇函数，所以

,所以

【简答题】

[7/2000]设f0（x）=sin x，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），…，fn+1（x）=fn′（x），n∈N，则f2010（x）=...

参考答案：

∵f₁（x）=（sinx）′=cosx，
f₂（x）=（cosx）′=-sinx，
f₃（x）=（-sinx）′=-cosx，
f₄（x）=（-cosx）′=sinx，
f₅（x）=（sinx）′=f₁（x），f₆（x）=f₂（x），．
∴f_n+4（x）=f_n（x），即周期T为4．
∴f₂₀₁₀（x）=f₂（x）=-sinx．
故答案为：-sinx

参考解析：

无

【简答题】

[8/2000]已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2)时，f（x）=log2（x+1），则f（-20...

参考答案：

C

参考解析：

无

【简答题】

[9/2000]若f(x)=1- a2x-1是奇函数，则a的值为______．

参考答案：

f(-x)=1-

a

2-x-1

=1-

a•2x

1-2x

∵f（x）为奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∴1-

a•2x

1-2x

=

a

2x-1

-1恒成立
解得a=-2
故答案为-2

参考解析：

无

【简答题】

[10/2000]已知函数f(x)＝【图片】，若f(a)＝【图片】，则f(－a)＝________.

参考答案：

参考解析：

根据题意，f(x)＝

＝1＋

，而h(x)＝

是奇函数，
故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－
[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－

＝

.